Questão sobre conjuntos

por pedrosalgadoo Sáb 27 Dez 2014, 12:04

Prove que B ⊂ C → A - C ⊂ A - B

por **Medeiros** Sáb 27 Dez 2014, 12:25

por pedrosalgadoo Sáb 27 Dez 2014, 12:49

Esse diagrama é de um caso particular. Nada garante que C ⊂ A. A pode estar contido em C, A pode estar contido em B, etc. Eu queria uma prova formal (sem diagramas), que abrange todos os casos. Mas de qualquer forma obrigado por tentar me ajudar. Smile

por **Elcioschin** Sáb 27 Dez 2014, 12:53

pedrosalgado

Se C pode ser subtraído de A ---> C está contido em A
Se B pode ser subtraído de A ---> B está contido em A

por pedrosalgadoo Sáb 27 Dez 2014, 13:05

Elcioschin, não necessariamente. O subconjunto "A - C" é composto pelos elementos que pertencem a A e que não pertencem a C. Por exemplo, se A = {1,2,3,4,5} e C = {2, 4 ,6}, então A - C = {1,3,5}, que são os elementos que pertencem a A mas não pertencem a C.

por **Medeiros** Sáb 27 Dez 2014, 23:32

Pedro,
você tem razão, foi erro meu. Vou ver o que consigo.

por pedrosalgadoo Ter 30 Dez 2014, 11:03

Resposta:
Para provar que B ⊂ C → A-C ⊂ A-B, basta supor o antecedente, ou seja, supor que B ⊂ C. Queremos provar que A-C ⊂ A-B, ou seja, qualquer elemento de A-C está contido em A-B. Seja x, um elemento arbitrário, tal que x ∈ A-C. Se x ∈ A-C, então x∈A e x∉C. Mas sabemos que B está contido em C, ou seja, se x não está em C, obviamente x não está em B, ou seja, x∉B. E se x∈A e x∉B, x∈A-B. Como x é um elemento arbitrário de A-C, temos que A-C ⊂ A-B.