Teorema de Wilson - Duvida

Pessoal, eu estava lendo o Teorema de Wilson e fiquei com a mesma duvida que ele: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090727164808AAVhQb3
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"Eu tava lendo a demonstração do livro sobre o Teorema de Wilson mas um PASSO não ficou claro pra mim.

O teorema afirma que: (p - 1)! ≡ -1 (mod p), para um p primo.

Ele partiu da congruência linear: ax ≡ 1 (mod p);
Obviamente essa congruência só vai ter uma solução pro conjunto {1 , 2 , 3 ... , (p - 1)} (já que P é primo), e como destes elementos 1 e (p - 1) são seus próprios inversos módulo p , ele afirma que "podemos agrupar os números 2 , 3 , 4 , ... , (p - 2) em (p - 3)/2 pares cujo produto é congruente a 1 módulo P;


NESSA PARTE eu não entendi, na verdade não é que não entendi, eu não estou vendo essa "trivialidade" de que eu posso pegar esse numeros e o produto deles vai ser congruente a 1 módulo P"
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Se pegarmos (12) como exempo, de fato, se verifica.

12! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12
12!= 1 × 12 × (2 × 7) × (3 × 9) × (4 × 10) × (5 × 8) × (6 × 11)
12!≡ −1 ( mod 13).

Mas como generalizar?

Valeu!!

Todo número tem inverso mod p com p primo, pois a condição para um número ter inverso mod p é que ele e o módulo sejam primos entre si, mas como o mod é um primo ele será primo com todos os números e portanto todos terão inverso, daí é só agrupá-los com seus inversos que o produto será ≡ 1 mod p.
De 2 até p-2 exitem p-3 números, daí vem que teremos (p-3)/2 pares.
PS: Os números aos quais estou me referindo são os possíveis restos na divisão por p, tirando o 0 que não tem inverso.

CarlosArguilar escreveu:Todo número tem inverso mod p com p primo, pois a condição para um número ter inverso mod p é que ele e o módulo sejam primos entre si

Não sabia que isso era condição para ter inverso mod p. Valeu CarlosArguilar!!

Aqui tem a demonstração dessa afirmação, se você quiser:
https://www.youtube.com/watch?v=oJeLBUyNlHA

Quero sim CarlosArguilar. Valeu!!!

Vocês participam/participaram do PIC?

Eu nunca particepei da OBMEP (minha antiga escola não participava), por isso nunca participei do PIC, eu só assisto aos vídeos que eles postam.

Tambem não Carlos Adir. Por sinal, voce participa(va)?

Eu participei, por um bom tempo aliás. O interessante é que no PIC ensinam de uma maneira não tão sistemática utilizada no ensino fundamental e médio.
Inclusive o material que utilizam são muitos bons, usam livro de ensino superior, mas do jeito que aplicam, dá pra entender perfeitamente.
Os livros que utilizam são da SBM, Coleção do Professor de Matemática.

O ruim é que só disponibilizam as video-aulas dos grupos mais baixos(G1, G2, G3 e G4), assim tendo que recorrer a outros meios para aprendizado para entender as matérias dos grupos mais avançados (G5, G6 e G7).
Em Manual do PIC podes ver o material programado para cada grupo. Tem o material disponibilizado no site da OBMEP, as Apostilas se encontram aqui caso queira estudar por elas.
Os outros materiais que são usados para dar aula, e que não estão no link acima, não se encontra em PDF, mas estão disponiveis para compra:
Coordenadas no plano com as soluções dos exercícios
Coordenadas no Espaço
Trigonometria e Números Complexos
Circulos Matemáticos A Experiência Russa

Enfim, questão respondida e aqui não é lugar para bater papo, qualquer coisa me envie MP.



Aqui está o tópico: PIC - OBMEP

Carlos Adir, estava olhando o Manual do PIC . Varios assuntos interessantes foram abordados. Voce estudou até que "grupo"? Além disso, o que seria "jogos combinatorios" e "grafos"? Depois vou pesquisar a respeito.

IMPRESSIONANTE:

Nossa, olha a diferença de preço IMPA e Vestseller sobre o mesmo livro

Beleza Carlos Adir. Respondi essa mensagem para não ser rude. Qualquer coisa, cria um topico no Bate Papo dos membros

Valeu pessoal!!