Fatoração FUVEST 2013

Considere o polinômio p(x)=x^4 + 1

b) Escreva p(x) como o produto de dois polinômios do segundo grau, com coeficientes reais.

Qual foi o procedimento para o item B? Existe uma técnica padronizada ou é uma questão de sacada?

É uma sacada inteligente: ele transformou x^4 + 1 em uma diferença de quadrados a² - b² = (a + b).(a - b)

Até a segunda linha eu consegui chegar, agora, por que ele pode colocar raiz de dois no primeiro polinômio e adicionar x^2 +1 no segundo polinômio?

Pedro, é como o mestre Élcio explicou: diferença de quadrados.

Primeiro, fez-se aparecer 2x² - 2x², o que equivale a zero e, portanto, em nada altera a equação; com esses novos termos, organizou-se a expressão convenientemente, usando o fato de que 2x² pode ser escrito como (x√2)²; finalmente, aplicou-se a² - b² = (a + b)(a - b), só que com a = x² + 1 e b = x√2.

Esse é o caminho por fatoração pura. No entanto, fico com a impressão de que a Fuvest tinha outra rota em mente e propôs o item a) para guiar o aluno no item b).

Como em a) foram calculadas todas as raízes do polinômio, podemos escrever p(x) na forma decomposta:



Se multiplicarmos os fatores que englobam raízes conjugadas, a parte imaginária será cancelada e chegaremos a dois polinômios com coeficientes reais. Experimente multiplicar apenas os dois primeiros parênteses entre si, e depois os dois últimos. O resultado será:





Portanto:

Eu tinha pensado em fazer deste modo também, mas não tinha certeza se as partes imaginárias seriam canceladas.
Muito obrigado pela ajuda Robson Jr. e também Elcioschin.