Fuvest 2015

por pwagner Seg 01 Dez 2014, 16:15

Sabe se que existem números reais A e xo tais que
Sen x + 2 cos x = A.cos (x -xo)
Para todo x real, o valor de A e

A)sqrt 2
B)sqrt 3
C)sqrt 5
D)2 sqrt 2
E)2 sqrt 3

Olhei as resoluções ânglo e objetivo é não entendi.

Grato

por Matheus Fillipe Seg 01 Dez 2014, 16:37

Também não entendi.

por **Fito42** Seg 01 Dez 2014, 17:06

Se existe um valor de A e Xo para todo valor de X, qualquer número que você substituir na variável essas duas constantes (A e Xo) terão o mesmo valor de antes, pois são constantes, ora Smile

-->para x=90º
1 + 0 = A cos(90-Xo)
mas cos(90-Xo) = sen(Xo)
1 = A sen(Xo)
sen(Xo) = 1/A (I)

--> para x=0º
0 + 2 = Acos(0-Xo)
mas cos(0-Xo) = -cos(Xo)
2 = -A cos(Xo)
cos(Xo) = -2/A (II)

Agora substitua os resultados (I) e (II) na relação fundamental sen^2 + cos^2 = 1 e você encontrará o valor de A

por **Thálisson C** Seg 01 Dez 2014, 17:20

olha só como fiz:

"Para todo x real, o valor de A é?" --> isso quer dizer que qualquer valor real de x admite o mesmo valor para A, então adotemos valores reais para x:

x = 2∏:

$\\sen(x) + 2cos(x)=A(cos(x)cos(x_{o}) + sen(x)sen(x_{o}))\\\\ 2 = Acos(x_{o})\;\;\;\;\;\; (I)$

x = (∏/2):

$\\sen(x) + 2cos(x)=A(cos(x)cos(x_{o}) + sen(x)sen(x_{o}))\\\\ 1 = Asen(x_{o})\;\;\;\;\;\; (II)$

união das duas equações:

$\frac{1}{sen(x_o)} = \frac{2}{cos(x_{o})} \;\; \rightarrow \;\; tg(x_{o}) = \frac{1}{2}$

temos a tangente e precisamos do cosseno ou do seno para descobrir A, então vamos ao triângulo:

Fuvest 2015 21actw6

agora é só na equação anterior:

$A = \frac{2}{cos(x_{o})} \;\; \rightarrow \;\; A = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{5}}} \;\; \rightarrow \;\; A= \sqrt{5}$

por PedroCunha Seg 01 Dez 2014, 17:34

Eu fiz pelo truque do triângulo retângulo:

queremos um ângulo tal que a hipotenusa 'a' seja: a² = 1²+2² .:. a = √5.

Na função:

√5* (√5/5 senx + 2√5/5 cosx) --> A = √5

por PedroCunha Seg 01 Dez 2014, 17:41

Outro exemplo: https://pir2.forumeiros.com/t23519-fuvest-seno-cosseno

por **Elcioschin** Seg 01 Dez 2014, 18:04

Fito 42

Apenas uma correção ---> cos(0 - xo) = cos(-xo) = +cosxo

Como vai elevar ao quadrado não dar erro na resposta final

por **Fito42** Seg 01 Dez 2014, 21:01

De fato. Acho que cometi o mesmo erro na prova, graças a Deus na fórmula é ao quadrado xD

por leticialinda1234 Ter 07 Jul 2015, 13:50

Olá eu entendi a resolução do fito,masgostaria de entender essa resolução do pedro cunha
não entendo como já saber que devo saber partir do raiz de 5,ou se a resolução está errada?

por **Elcioschin** Qua 08 Jul 2015, 09:52

1º membro ---> senx + 2.cosx

1.senx + 2.cosx ---> Módulo: M² = 1² + 2² ---> M = √5

Multiplicando e dividindo a equação por √5

√5.[senx.(1/√5) + (2/√5).cosx] = A.sen(Xo)

Existe um ângulo θ tal que senθ = 2/√5 e cosθ = 1/√5

√5.(senx.cosθ + senθ.cosx) = A.sen(Xo)

√5.sen(x + θ) = A.sen(Xo)

Conclusão: A = √5