Teorema das bissetrizes

Em um triângulo ABC de lados AB= 12, AC= 8 e BC= 10, a bissetriz interna de B encontra a bissetriz AN externa de A no ponto F. A razão FN/FA é:

a)3/2
b)4/3
c)5/2
d)5/3
e)N.R.A

Amanhã farei a resolução passo a passo.

Adiantando o passo-a-passo do Raimundo e aproveitando o desenho dele...

teorema da bissetriz externa no triângulo ABC:

8/CN = 12/(10+CN) -----> CN = 20

teorema da bissetriz interna no triângulo ABN:

12/AF = 30/FN -----> FN/AF = 5/2

Vlw! Medeiros ,
Como eu já tinha rascunhado a resolução vou postá-la.
1 - Para localizar o ponto F vc tem que saber que o segmento de bissetriz ext. é limitado pelo ângulo, e o prolongamento do lado oposto. Traçado essa bissetriz vc define o triâng. ABN, ficando claro nesse triâng. que vc precisa achar CN para aplicar o teorema da bissetriz em BAN e com isso obter a solução.

2 -Acontece que da fig. formada (ABN) , eu não conseguir ver a aplicanção do teorema da bissetriz externa ,  como viu o Medeiros,  tornando a resol. mais simples. Então  veio a idéia de de criar artíficios. 

3 - Prolongue AB e ligue N, paralela a AC até encontrar o prolongamento de AB , definindo o ponto R, e  formando o triâng. BNR.
4 - Observe que ficou formado o trapézio ACNR , cuja diagonal  AN forma os âng. alternos internos (b) , e assim fica claro que o triângulo ARN é isósceles , onde AR=NR=x ( aqui o probl. teve a sua sentença de morte.) , pois vc fazendo  a semelhança e acha o valor de X. --->(12+x)/x = 12/8 ---->x=24

5 - Ué! mas ainda não tenho CN , então de posse de X vc aplica o Teorema de Tales: 12/10=24/NC--->NC =20   

6 -Passo final  Teorema da bissetriz int.  em BNA ---> (BC+NC)/FN=AB/AF--->(10+20)/FN=12/AF-->FN/AF=30/12/5/2 .

Ficamos assim com 2 resol. caso não lembre na hora ( como eu), da aplicação do teorema da bissetriz ext.

:bball:

Obrigado por suas soluções!

ÓTIMAS soluções, eu só não consegui compreender o teorema da bissetriz interna em ABN que o Medeiros fez.

natanlopes_17 escreveu:ÓTIMAS soluções, eu só não consegui compreender o teorema da bissetriz interna em ABN que o Medeiros fez.

Natan

conforme enunciado, BF é bissetriz do ângulo ˆB, portanto uma bissetriz interna.

Ataaaaa, consegui compreender. Muito obrigado !!!