Volume coordendas cilíndricas

por MCarsten 23/11/2014, 9:33 pm

Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido dentro de $x^2 + y^2 + z^2 = 16$ e fora de $z = \sqrt{x^2 + y^2}$

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Olá amigos do fórum,

gostaria de uma ajuda para resolver este exercício. Não precisa resolver as integrais. Sei que se trata de uma esfera e um cone. O que eu quero saber é como ficarão os limites de integração para cada integral. O exercício ficaria muito mais simples se pedisse em coordenadas esféricas. Mas como pede em cilíndricas, estou na dúvida. Agradeceria se pudessem mostrar o desenho no plano xyz para visualizar melhor.

Obrigado.

por **Giovana Martins** 13/4/2020, 8:05 pm

Isso apareceu na lista que estou fazendo para a prova que eu vou ter. Fiz assim (por coordenadas esféricas). Se alguém puder confirmar eu agradeço. Não tenho o gabarito.

\\\mathrm{(x,y,z)=(\rho sen(\varphi )cos(\theta ),\rho sen(\varphi )sen(\theta ),\rho cos(\varphi ))}\\\\\mathrm{Jacobiano:\ \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\theta ,\rho ,\varphi )}}=\mathrm{\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \theta } &\frac{\partial x}{\partial \rho } &\frac{\partial x}{\partial \varphi } \\
\frac{\partial y}{\partial \theta } &\frac{\partial y}{\partial \rho } &\frac{\partial y}{\partial \varphi } \\
\frac{\partial z}{\partial \theta } &\frac{\partial z}{\partial \rho } & \frac{\partial z}{\partial \varphi }
\end{vmatrix}}=\mathrm{\rho ^2sen(\varphi )}\\\\\mathrm{Encontrando\ os\ limitantes:\ }\\\\\mathrm{z=\sqrt{x^2+y^2}\to \rho cos(\varphi )}=\mathrm{\sqrt{\rho ^2sen^2(\varphi )cos^2(\theta )+\rho ^2sen^2(\varphi )sen^2(\theta )}}\\\\\mathrm{\rho cos(\varphi )=\sqrt{\rho ^2sen^2(\varphi )[cos^2(\theta )+sen^2(\theta )]}\to tg(\varphi )=1\to \varphi =\frac{\pi }{4}}

\\\mathrm{Limitantes:\ 0\leq \rho \leq 4,0\leq \theta \leq 2\pi ,\frac{\pi }{4}\leq \varphi \leq \frac{\pi }{2}}\\\\\mathrm{Volume:\ V=\int \int \int _{W} dV=\int_{0}^{2\pi }\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{4}\left | \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\theta ,\rho ,\varphi )} \right |d\rho d\varphi d\theta }\\\\\mathrm{V=\int_{0}^{2\pi }\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{4}\rho ^2sen(\varphi )d\rho d\varphi d\theta \ \therefore\ \boxed {\mathrm{V=\frac{64\pi \sqrt{2}}{3}}}}

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