Fatore a expressão:

Fatore a expressão: (a-x)v³-(a-y)x³+(x-y)a³
Não sei como chegar em (a-x)(a-y)(x-y)(a+x+y)

f(a,x,y) = (a-x)y³ -(a-y)x³ + (x-y)a³

É fácil ver que a = x é raíz da função, pois:
f(a,x,y) = 0 -(x-y)x³ + (x-y)x³ = 0
analogamente, a = y e x = y são raízes.

Assim, a função fatorada é da forma:
k(a-x)(a-y)(x-y) = (a-x)y³ -(a-y)x³ + (x-y)a³
Como o lado direito tem grau 4 , k deve ter grau 1, então k = ap + xq + yr , onde p, q e r são constantes quaisquer.
(ap+xq+yr)(a-x)(a-y)(x-y) = (a-x)y³ - (a-y)x³ + (x-y)a³

para achar p,q,r vamos atribuir quaisquer valores para a,x e y (a#x#y) afim de obter um sistema:
sendo a = 0 , x = 1 , y = -1 , temos:
(q-r)(0-1)(0+1)(1+1) = (0-1)(-1)³ - (0+1)1³ + (1+1)0³
-2q + 2r = 1 -1 +0
q = r
sendo a = 1 , x = 0 , y =-1 :
(p-r)(1-0)(1+1)(0-1) = (1-0)(-1)³ - (1+1)0³ + (0+1)1³
-2p + 2r = -1 + 1
p = r
sendo , a = 1 , x =2 , y = 3 :
(p+2q + 3r)(1-2)(1-3)(2-3) = (1-2)3³ -(1-3)2³ + (2-3)1³
(6r)(-1)(-2)(-1) = -12
-12r = -12
r = 1
p=q=r= 1, logo:
(a-x)y³ -(a-y)x³ + (x-y)a³ = (a+x+y)(a-x)(a-y)(x-y)

Ah ta, entendi agora, valeu!