Distância de um ponto a uma reta
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Distância de um ponto a uma reta
Olá! Estou com dificuldade com esta questão.
Qual é o ponto da reta (r) x= 1 que dista 3 unidades da reta (s) 6x + 8y = 0?
Gabarito:(1,3) ou (1; -4,5)
Alguém poderia me ajudar?
Qual é o ponto da reta (r) x= 1 que dista 3 unidades da reta (s) 6x + 8y = 0?
Gabarito:(1,3) ou (1; -4,5)
Alguém poderia me ajudar?
Kristeva- Padawan
- Mensagens : 68
Data de inscrição : 06/05/2014
Idade : 27
Localização : Butiá-RS
Re: Distância de um ponto a uma reta
- trace no plano coordenado:
- reta (r): x = 1
- reta (s): 6x + 8y = o -> (s): y = - ( 3/4 )*x
- sejam os ponto A( 1, a ) e B( 1, b ) os pontos que pertencem à reta (r) x = 1 e que distam 3 unidades da reta (s)
y = - ( 3/4 )*x
então:
distância do ponto A( 1, a ) à reta (s):
......( 3/4 )*1 + 1*a .......(3/4) + a........3 + 4a
d = -------------------- = ------------- = ---------
........\/ 25/16.....................5/4...............5
d = 3
( 3 + 4a ) = 15 -> 4a = 12 -> a = 3
A( 1, 3 )
- interseção das retas (r) e (s):
y = - (3/4 )*1 -> y = - 3/4 -> I( 1, - 3/4 )
- distância do ponto A( 1,3 ) ao ponto I( 1, - 3/4 )
como I é médio do segmento AB , então:
d' = 3 + (3/4) = 15/4
- distância do ponto I( 1, - 3/4 ) ao ponto b:
b = ( - 3/4 ) - ( 15/4 ) = - 18/4 = - 9/2 = - 4,5
B( 1, - 4,5 )
- reta (r): x = 1
- reta (s): 6x + 8y = o -> (s): y = - ( 3/4 )*x
- sejam os ponto A( 1, a ) e B( 1, b ) os pontos que pertencem à reta (r) x = 1 e que distam 3 unidades da reta (s)
y = - ( 3/4 )*x
então:
distância do ponto A( 1, a ) à reta (s):
......( 3/4 )*1 + 1*a .......(3/4) + a........3 + 4a
d = -------------------- = ------------- = ---------
........\/ 25/16.....................5/4...............5
d = 3
( 3 + 4a ) = 15 -> 4a = 12 -> a = 3
A( 1, 3 )
- interseção das retas (r) e (s):
y = - (3/4 )*1 -> y = - 3/4 -> I( 1, - 3/4 )
- distância do ponto A( 1,3 ) ao ponto I( 1, - 3/4 )
como I é médio do segmento AB , então:
d' = 3 + (3/4) = 15/4
- distância do ponto I( 1, - 3/4 ) ao ponto b:
b = ( - 3/4 ) - ( 15/4 ) = - 18/4 = - 9/2 = - 4,5
B( 1, - 4,5 )
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...se acupuntura adiantasse, porco-espinho viveria para sempre....
Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
Re: Distância de um ponto a uma reta
Entendi que pra descobrir o ponto a(1,3) é só fazer a fórmula da distância do ponto à reta, mas não entendi a parte do ponto b(1, -4,5). Por que fazer a intersecção das retas?
Kristeva- Padawan
- Mensagens : 68
Data de inscrição : 06/05/2014
Idade : 27
Localização : Butiá-RS
Re: Distância de um ponto a uma reta
Você concorda que o ponto médio do segmento A( 1, a ) e B( 1, b ) é a interseção das retas x = 1 e y = - ( 4/3 )x ?
Se já temos "a" então fica fácil encontrar "b".
Caso não concorde é só avisar.
Se já temos "a" então fica fácil encontrar "b".
Caso não concorde é só avisar.
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Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
Re: Distância de um ponto a uma reta
Desculpe, mas não entendi ainda. Como posso saber que a intersecção é o ponto médio?
Kristeva- Padawan
- Mensagens : 68
Data de inscrição : 06/05/2014
Idade : 27
Localização : Butiá-RS
Re: Distância de um ponto a uma reta
Olá Kristeva,
Observe que temos dois triângulos com dois ângulos iguais opostos pelo vértice e um lado igual ( distância à reta ), esses triângulo são congruentes.
Observe que temos dois triângulos com dois ângulos iguais opostos pelo vértice e um lado igual ( distância à reta ), esses triângulo são congruentes.
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Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
Idade : 74
Localização : Niterói - RJ
Re: Distância de um ponto a uma reta
Ah, sim! Agora enxerguei, obrigada.
Kristeva- Padawan
- Mensagens : 68
Data de inscrição : 06/05/2014
Idade : 27
Localização : Butiá-RS
Re: Distância de um ponto a uma reta
Outro modo
d = |6.1 + 8.a|/(6² + 8²)
3 = |6 + 8.a|/10 ---> |6 + 8a| = 30 ---> Temos duas possibilidades:
1) + (6 + 8.a) = 30 ---> a = 3 ---> P(1; 3)
2) - (6 + 8.a) = 30 ---> a = - 4,5 ---> P'(1; -4,5)
d = |6.1 + 8.a|/(6² + 8²)
3 = |6 + 8.a|/10 ---> |6 + 8a| = 30 ---> Temos duas possibilidades:
1) + (6 + 8.a) = 30 ---> a = 3 ---> P(1; 3)
2) - (6 + 8.a) = 30 ---> a = - 4,5 ---> P'(1; -4,5)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71747
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Distância de um ponto a uma reta
Excelente amigo Elcioschin, simplicidade é tudo.
Um abraço.
Um abraço.
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Jose Carlos- Grande Mestre
- Mensagens : 5551
Data de inscrição : 08/07/2009
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