Resolva o PVI utilizando Laplace

por lucasdemirand Seg 17 Nov 2014, 10:59

Olá amigos, estou com uma duvida no seguinte exercicio, quem puder ajudar ficarei grato
Resolva o PVI utilizando a tranformada de laplace
$Resolva o PVI utilizando Laplace Gif$
$Resolva o PVI utilizando Laplace Gif$
$Resolva o PVI utilizando Laplace Gif$

tenho em meu gabarito a seguinte resposta :

$Resolva o PVI utilizando Laplace Gif$

por Man Utd Seg 17 Nov 2014, 19:08

Olá

Aplique a transformada de laplace em ambos os lados :

$\\\\ \mathcal{L} \left( y^{\prime \prime}+5y^{\prime}+4y \right )=0 \\\\ \mathcal{L} \left( y^{\prime \prime} \right)+\mathcal{L} \left(5y^{\prime} \right)+\mathcal{L} \left( 4y \right )=0 \\\\ \mathcal{L} \left( y^{\prime \prime} \right)+5\mathcal{L} \left(y^{\prime} \right)+4 \mathcal{L} \left( y \right )=0$

Sabendo que : $\\\\ \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - s^{n - 2} f'(0)- \cdots - f^{(n - 1)}(0) = s^n\mathcal{L}\{f\} - \sum_{k=0}^{n-1}(s^{(n-1-k)}f^{(k)}(0))$ , logo :

$\\\\ s^2 Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)+5 \left( sY(s)-y(0) \right)+4 Y(s)=0 \\\\ s^2 Y(s)-s+5sY(s)-5+4 Y(s)=0 \\\\ Y(s)=\frac{s+5}{s^2+5s+4}$

Agora bastar encontrar a inversa, para isso vc pode utilizar frações parciais ou então utilizar a Fórmula de Desenvolvimento de Heaviside , como prefiro o último vamos prosseguir com a resolução usando-o.

Como a raízes do polinômio do denominador é "-1" e "-4", então designaremos por a1=-1 e a2=-4 .

$\\\\ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{P(s)}{Q(s)} \right )=\mathcal{L}^{-1} \left(\frac{s+5}{s^2+5s+4} \right)=\sum_{n=1}^{2} \; \frac{P(a_{n})}{Q^{\prime}(a_{n})}e^{a_{n}t} \\\\\\ \; \frac{P(a_{1})}{Q^{\prime}(a_{1})}e^{a_{1}t}+\frac{P(a_{2})}{Q^{\prime}(a_{2})}e^{a_{2}t}=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}$

Logo a inversa é $\\\\ y(t)=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}$ e isto representa a resposta do PVI.