Equação de Laplace

por Violeiro Qua 05 Jun 2013, 16:12

Mostrar que a função:

$j(x,y,z)=e^\left (3^x^+^4^y \right )$ $*cos(5z)$

satisfaz a Equação de Laplace.

$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}=0$

Agradecido pela ajuda.
cheers

por Matheus Fillipe Qua 05 Jun 2013, 19:38

Boa questão. A equação de laplace é fundamental. Para provar que a sua função é uma solução da equação de laplace, temos:
$\frac{\partial (e^{3x}.e^{4y.}\cos (5z)}{\partial x} = e^{4y.}\cos (5z) \frac{\partial {}e^{3x} }{\partial x}= 3e^{4y.}\cos (5z) e^{3x}$

$\frac{\partial e^{3x}e^{4y}cos(5x))}{\partial x}=e^{3x}cos(5x)\frac{\partial e^{4y} }{\partial x}=4e^{3x}cos(5x)e^{4y}$

$\frac{\partial (e^{3x}.e^{4y.}\cos (5z)}{\partial z} = e^{3x.}e^{4y} \frac{\partial {\cos (5z) } }{\partial z}= -5e^{3x.} e^{4y} sen(5z)$

Como se tratam de derivadas parciais. As derivadas segundas:

$\frac{\partial^2 e^{4y}cos(5z)) e^{3x}}{\partial x^2}= 3 e^{4y}cos(5z)\frac{\partial e^{3x}}{\partial x}=9e^{3x}e^{4y}cos(5z)$
$\frac{\partial^2 e^{4y}cos(5z)) e^{3x}}{\partial y^2}= 4e^{3x}cos(5z)\frac{\partial e^{4y}}{\partial y}=16 e^{3x}e^{4y}cos(5z)$

$\frac{\partial^2 e^{4y}cos(5z)) e^{3x}}{\partial x^2}= -5* e^{3x} e^{4y}\frac{\partial sen(5z)}{\partial y}=-25 e^{3x}e^{4y}cos(5z)$

Somando tudo cancelamos o cosseno, e as exponenciais repetidos.:

9+16+25=25-25=0

Portando essa é uma solução da equação:

$/nabla^{2} \varphi =0$

$\varphi = e^{3x+4y} cos(5z))$

No plano cartesiano.

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