reta - circunferencia

Dados os ponto P=(3, -2) e Q=(5,2), seja r a mediatriz do segmento PQ. A distancia de r à circunferência C: x² + 4x + y² = 1 é igual a:

raiz(5)/5

- marque no plano coordenado os pontos P( 3, v- 2 ) e Q( 5, 2 )

- cálculo do ponto médio do segmento PQ:

xM = ( 3+5 )/2 = 4

yM = ( - 2 + 2 )/2 = 0

M( 4, 0 )

- seja (r) a reta que passa pelos pontos P e Q :

(y+2)/4 = ( x-3 )/2

r: y = 2x - 8


- seja (s) a reta perpendicular à reta (r) e que passa pelo ponto M( 4, 0 ) :

m = - 1/2

y - 0 = ( - 1/2 )*( x - 4 )

s: y = ( - 1/2 )x + 2


- equação da circunferência dada :

x² + 4x + y² = 1

x² + 4x + 4 + y² = 1 + 4

( x + 2 ) + y² = 5 -> circunferência de centro no ponto ( - 2 , 0 ) e raio = 5


- seja a reta (t) que passa pelo ponto ( - 2, 0 ) e é perpendicular à reta (s) :

m = 2

y - 0 = 2 *( x  2 )

y = 2x + 4 



- interseção da reta (t) com (s) :

( - 1/2 )x + 2 = 2x + 4

x = - 4/5 -> y = 12/5 -> ( - 4/5 , 12/5 )


- interseção da reta (t) com a circunferência:

( x + 2 ) + y² = 5

( x + 2 )² + ( 2x + 4 )² = 5

raízes: x = - 1 ou x = - 3


- para x = - 1 -> y = 2 ou y = - 2

- considerando o ponto ( - 1, 2 ) temos que a distância ao ponto ( - 4/5 , 12/5 ) será:

d² = ( - 4/5 + 1 )² + ( 12/5 - 2 )² =

= ( 1/5 )² + ( 2/5 )² = 1/5

assi:

d = \/(1/5) = ( \/5 )/5 

Boa noite...

Comecemos em determinar o ponto médio de PQ = (4,0)

Agora determinemos o coeficiente angular da reta que passa por PQ = 2

Posteriormente determinamos o coeficiente da mediatriz (perpendicular a PQ) e que passa por (4,0)... = -1/2

A reta suporte da  mediatriz é igual a y-0 = -0,5(x-4) (1)

Agora vamos para a circunferência:

Completando os quadrados, conclui-se que a equação da circunferência é dada por (x+2)^2+Y^2= 5 Centro em (-2,0) (II)

De I e II mais a fórmula abaixo que determina a distância entre reta e circunferência temos:
|  (axo+by0+c)/Raiz(a^2+b^2)  | =  (x0 e y0 centro da circunferência)

|-6/√ 5| --> Esta é a distância do centro da circunferência até a mediatriz...Para sabermos a distância da "borda" da circunferência até a reta mediatriz precisamos descontar o raio:

descontando o raio: 6/√5 - √5 = √5/5

Gostaria de enviar o desenho mais não logrei êxito... minha intenção foi somente mostrar o raciocínio



Até,

Eres Alessandro.

MUITO OBRIGADO PELA RESPOSTA...