Divisão de certa quantia...

por **ivomilton** Seg 26 Jul 2010, 18:48

Certa quantia é dividida em partes iguais entre determinado número de pessoas. Se aumentarmos de 6 o número de pessoas, cada uma receberá R$3,00 a menos; se, ao contrário, o número de pessoas for diminuído de 2, cada uma terá R$ 2,00 a mais. Determinar o número de pessoas e a parte de cada uma.

por **aryleudo** Seg 26 Jul 2010, 20:42

Certa quantia é dividida em partes iguais entre determinado número de pessoas. Se aumentarmos de 6 o número de pessoas, cada uma receberá R$3,00 a menos; se, ao contrário, o número de pessoas for diminuído de 2, cada uma terá R$ 2,00 a mais. Determinar o número de pessoas e a parte de cada uma.

DADOS
Sejam:
Q : (Certa quantia);
x : (n° de pessoas no início);
a : (quantia destinada a cada pessoa no início).

Relações:
$\fn_phv \100dpi \frac{Q}{x}= a \Rightarrow Q = ax \hspace{10} (I)$

$\fn_phv \100dpi \frac{Q}{x+6}= a-3 \Rightarrow Q = (a-3)(x+6) \hspace{10} (II)$

$\fn_phv \100dpi \frac{Q}{x-2}= a+2 \Rightarrow Q = (a+2)(x-2) \hspace{10} (III)$

Igualando (I) com (II):
$\fn_phv \100dpi \\ax = (a-3)(x+6) \Rightarrow ax = ax +6a-3x-18 \\\\ -6a = -3x -18 \Rightarrow a = \frac{x}{2} + 3$

Substituindo "a" em (I):
$\fn_phv \100dpi Q =\left (\frac{x}{2} + 3 \right )x \Rightarrow Q = \frac{x^{2}}{2} + 3x$

Substituindo "Q" e "a" em (III):
$\fn_phv \100dpi \\\frac{x^{2}}{2} + 3x = \left (\frac{x}{2} + 3+2 \right )(x-2)\\\\ \frac{x^{2}}{2} + 3x = \left (\frac{x}{2} + 5 \right )(x-2)\\\\ \frac{x^{2}}{2} + 3x = \frac{x^{2}}{2} -x +5x -10\\\\ -x = -10 \Rightarrow x = 10 \hspace{3}pessoas$

Encontrando "a":
$\fn_phv \100dpi a = \frac{10}{2} + 3 \Rightarrow a = 5 + 3 \Rightarrow a = R\$\hspace{3} 8,00$