Questão da UFSJ-2013

por Lucas Lopess Sex 10 Out 2014, 11:30

Sejam r₁ e r₂ números racionais quaisquer e s₁ e s₂ números irracionais quaisquer, é INCORRETO afirmar que
a) o produto r₁*r₂ será sempre um número racional.
b) o produto s₁*s₂ será sempre um número irracional.
c) o produto s_1*r₁ será sempre um número irracional.
d) para r2 ≠ 0, a razão r₁/r₂ será sempre um número racional.

Gabarito: Alternativa B

Alguém poderia me explicar por que a alternativa D não está incorreta?

Desde já, eu agradeço.

por **Carlos Adir** Sex 10 Out 2014, 11:38

Um número racional pode ser escrito na forma de fraçoes, onde seus valores são números inteiros.
Ou seja, um número racional é um inteiro dividido por um inteiro.
Assim:
$\\a_1, \ a_2, \ b_1, \ b_2 \in \mathbb{Z}\\ . \\r_1 = \dfrac{a_1}{b_1}; \ \ r_2 = \dfrac{a_2}{b_2}$
Portanto:
$r_1 \times r_2 = \dfrac{a_1}{b_1} \cdot \dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_1a_2}{b_1b_2}$
Ou seja, outro número racional. Logo, A correto.
C) Nem é preciso mostrar, pois 2*pi é irracional, assim como 3*pi
D) $\\r_2 \ne 0\\\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{a_1}{b_1} \cdot \dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{a_1b_2}{b_1a_2}$
Ou seja, outro número racional.
Por eliminação, letra B.

r1/r2 será racional também, pois pode ser escrito na forma de inteiro / inteiro.

por Lucas Lopess Qui 11 Dez 2014, 11:30

Obrigado Carlos Adir Very Happy

por fcomex Sáb 19 Mar 2016, 23:41

E porque a B está incorreta?

por **Carlos Adir** Dom 20 Mar 2016, 10:20

Basta um contra-exemplo:
$\\ \mathrm{s_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in \mathbb{I}} \\ \mathrm{s_2 = \sqrt{2} \in \mathbb{I}} \\ \mathrm{s_1 \cdot s_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=1 \in \mathbb{Q}}$

por LuMR Sex 28 Abr 2017, 20:12

sim, mas qual?!
não entendi a explicação, poderia explicar para pessoas com muita dificuldade?

por LuMR Sex 28 Abr 2017, 20:17

sim, mas qual?!
não entendi a explicação, poderia explicar para pessoas com muita dificuldade?

por **petras** Sex 28 Abr 2017, 20:24

Qual sua dúvida?

por LuMR Sex 28 Abr 2017, 20:34

quero saber o porquê de s1 x s2 = sempre não será um número irracional?

eu achava que qualquer número multiplicado, divido, subtraído ou somado com um número Irrracional = Irracional...

por **petras** Sex 28 Abr 2017, 21:57

Já foi demonstrado que nem sempre. Veja o exemplo que o Carlos Adir postou.

Outro exemplo: √ 2 . √ 2 = √ (2.2) = √ 4 = 2

Dois irracionais multiplicados geram um inteiro