(O.M.Paulista) Números Complexos XIII

Seja  uma raiz de x⁷-1, com . Existe um polinômio mônico p de grau 2 com coeficientes inteiros cujas raízes são números  e . O valor de p(3) é igual a:

A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18

Spoiler:

Olá, medock.

p(z) = z² + b*z + c

Pela segunda Lei de Moivre, x = (2kpi)/7, k = 1,2,3,4,5 ou 6 (0 não serve). Fazendo k = 1: x = 2pi/7

Pela primeira Lei de Moivre:

z1 = cis(2pi/7) + cis(4pi/7) + cis(8pi/7) .:. 
z2 = cis(6pi/7) + cis(10pi/7) + cis(12pi/7)

b = - [ z1+z2  ] .:. b = -2 ( cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) ) .:. b = 1*

* Fácil de provar. Tem uma prova aqui * 

c = x^4 + x^6  +x^7 + x^5 + x^7 + x^8 + x^7 + x^9  +x^10 .:. 
c = 3*x^7 + (x+x²+x³+x^4+x^5+x^6) .:. c = 2

Então, p(z) = z² + z + 2 --> p(3) = 3² + 3 + 2 .:. p(3) = 14

Att.,
Pedro

Obrigadoo, Pedro! =D