(Aime) Números Complexos XII
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(Aime) Números Complexos XII
por medock Qua 24 Set 2014, 01:26
Seja =&space;\frac{z+i}{z-i} "F(z)= \frac{z+i}{z-i}")
para qualquer complexo, z ≠ 1, e seja  "z_n=F(z_{n-1})")
para todo inteiro positivo n. Dado que 
e 
, em que a e b são números reais, determine a + b.
- Spoiler:
- Gabarito: a + b = 275
medock- Jedi
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Re: (Aime) Números Complexos XII
por Luck Qui 25 Set 2014, 02:02
z[n] = F(z[n-1])
zo = (1/137) + i
F(zo) = (zo + i)/(zo-i)
F(zo) = [(1/137)+2i)]/(1/137) = 1 + 274i
z1 = F(zo) = 1 +274i
F(z1) = (z1+ i)/(z1 - i)
F(z1) = (1+275i)/(1+273i)
z2 = (1+275i)/(1+273i)
F(z2) = (z2+i)/(z2-i)
F(z2) = ( [(1+275i)/(1+273i)] + i)/( [(1+275i)/(1+273i)]-i )
fazendo as contas vc vai obter:
z3 = F(z2) = (1/137) + i , voltando ao valor de zo.
Assim, os três primeiros termos da sequência se repetem.. como 2002 deixa resto 1 na divisão por 3:
z2002 = 1 + 274i
a+b = 275
zo = (1/137) + i
F(zo) = (zo + i)/(zo-i)
F(zo) = [(1/137)+2i)]/(1/137) = 1 + 274i
z1 = F(zo) = 1 +274i
F(z1) = (z1+ i)/(z1 - i)
F(z1) = (1+275i)/(1+273i)
z2 = (1+275i)/(1+273i)
F(z2) = (z2+i)/(z2-i)
F(z2) = ( [(1+275i)/(1+273i)] + i)/( [(1+275i)/(1+273i)]-i )
fazendo as contas vc vai obter:
z3 = F(z2) = (1/137) + i , voltando ao valor de zo.
Assim, os três primeiros termos da sequência se repetem.. como 2002 deixa resto 1 na divisão por 3:
z2002 = 1 + 274i
a+b = 275
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