Números complexos

Sejam os afixos dos números complexos , e os vértices A, B e C, respectivamente, de um triângulo ABC. Sabendo que , e , calcule os lados de ABC.

Gabarito:

Ver se algúem reproduz:
Arg(z3 - z2/z3 - z1) é o ângulo entre os vetores z3 - z2 e z3 - z1, ou seja é ângulo do triângulo


Desenhe um triângulo, um dos lados vale 5, o outro vale 4, o terceiro vale x


O ângulo oposto a 5 vale 2 alpha 

O ângulo oposto a 4 vale alpha 

Lei dos senos:
Cos (alpha)=5/8

Aí faz lei dos cossenos....

mauk03 escreveu:Sejam os afixos dos números complexos , e os vértices A, B e C, respectivamente, de um triângulo ABC. Sabendo que , e , calcule os lados de ABC.

Gabarito:

z1 - z2 (em módulo) = AB = 5 (vamos supor que seja um imaginario puro e a subtração abaixo seja entre complexos com o mesmo angulo (ficando o raio na mesma direção, ou seja, afixos na mesma direção que só subtraindo já encontramos suas distancias, faltando somente CA).
z2 - z3 (em módulo) = BC = 4

CA para nós será z3 - z1

Perceba que a última relação nos diz que o metade do angulo de um número complexo é igual ao angulo de outro numero complexo. Isso acontece quando ao dividirmos tal numero, ele iguala sua parte imaginaria e real.

4 + 4i = 2*x
x = 2 + 2i

Ou seja, para facilitar, no triangulo que estamos usando, com números múltiplos de 2, eu consigo igualar um número complexo 4 + 4i a  2 + 2i dividindo por 2 cada parte real e imaginária. Ou dividir o modulo do numero por 4: 4^2+4^2 = 32 -- 2^2 + 2^2 = 8.

Por isso, ficamos com os modulos

Considerando y = CA = z3 - z1 e que um mesmo argumento define o mesmo número complexo para o nosso exemplo, temos

+4/4*y = y/+5

y^2 = 5
y = √5 = 2.236 ~2.25 = 9/4 = CA