Triângulo

Num triângulo ABC, a reta r que passa pelo baricentro e pelo incentro é paralela ao lado BC do triângulo. Demonstre que os lados do triângulo formam uma progressão aritmética.

Como o problema vale para QUALQUER triângulo, vou escolher um triângulo retângulo ABC (retângulo em A) para facilitar a demonstração.

Sejam :
AB = c, AC = b, BC = a
M é o ponto médio de BC e N o ponto médio de AC
I é o incentro e G é o baricentro.

Vamos colocar ABC num sistema xOy com A na origem, OC no eixo X e OB no eixo Y:

A(0, 0) ; B(0, c) ; C(b, 0) ; M(b/2, c/2) ; N(b/2, 0) ; (I(xI, yI) ; G(xG, yG)

O incentro é o centro do círculo inscrito em ABC. O raio r deste círculo é igual às coordenadas do próprio incentro, dado por:

r = xI = yI = (b + c - a)/2

O ponto G é o ponto de enontro das medianas AM e BN:

Equação da reta suporte da mediana AM ----> y = (c/b)*x

Idem da mediana BN ----> y - c = - [c/(b/2)]*(x - 0) ----> y = - (2c/b)*x + c

Coordenadas de G ----> (c/b)*xG = - (2c/b)*xG + c ----> xG = b/3 ----> yG = c/3

Se yG = yI o teorema estará pratimente demonstrado:

c/3 = (b + c - a)/2 ----> 2c = 3b + 3c - 3a ----> c/3 = a - b

a² = b² + c² ----> a² - b² = c² ----> (a + b)*(a - b) = c² ----> (a + b)*(c/3) = c

a + b = 3c
a - b = c/3 -----> 2a = 3c + c/3 ----> 3a = 5c

a + b = 3*(3a/5) ----> a + b = 9a/5 ----> b = 4a/5 ----> 4a = 5b

Caso os lados do triângulo estejam em PA devemos ter -----> 2b = a + c

2b = a + 3a/5 -----> 2b = 8a/5 ----> 4a = 5b

Acabamos de provar o enunciado.
Só como curiosidade veja que os valores em vemelho corrrespondem a um triângulo de lados proporcionais a 3, 4, 5 que é o famosos triângulo pitagórico.

Elcioschin,
Quando eu precisar provar alguma coisa que vale para qualquer triângulo, sempre posso escolher um tipo de triângulo específico, sem medo de perder a generalidade do enunciado?? Nesse caso, eu poderia usar um triângulo equilátero para demonstrar essa questão?

Nat'

1) Sim, pode escolher qualquer triângulo (desde que ele NÃO esteja previamente definido no enunciado)

2) Como consequência poderia ser um triângulo equilátero

Sugiro que você tente resolver usando um triângulo equilátero.Deve ser bem fácil, porque o incentro e o baricentro coincidem

Eu resolvi com o triângulo equlátero e realmente foi bem mais simples! ^^

Bom saber que pode usar qualquer triângulo e utilizar as propriedades do mesmo. Antes eu sempre fazia esse tipo de questão utilizando o triângulo escaleno... O que não era nada agradável!

Creio que se for feita uma demonstração para um triângulo retângulo ela só será válida para o triângulo retângulo, não?

Para os viajantes que buscam solução, como eu buscava, vai aqui uma forma mais simples e geral que eu encontrei:
NO triângulo ABC 
I- incentro, G- baricentro ,N- intersecção bissetriz de A com o lado BC, P- intersecção da mediana de A com BC
 O triângulo AIG é semelhante ao ANP, pois IG é paralelo a NP, como diz o enunciado, fazendo semelhança:

IG/NP=BG/BP 

só que BG/BP é 2/3 pois G é baricentro, então 

IG/NP=2/3
 Como I é incentro, é válido a relação: 

--AI/AN=b+c/a+b+c a demonstração disso se dá usando o teorema da bissetriz interna na própria bissetriz analisada.

NO mesmo triângulo:

IG/NP=AI/AN=b+c/a+b+c ----> 3b+3c=2a+2b+2c ----> b+c=2a o que é uma progressão aritmética para qualquer triângulo dentro das condições do enunciado.