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(EUA/2002) Números Complexos III

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Mensagem por medock Seg 15 Set 2014, 19:25

Sabendo que a equação z(z+i)(z+3i)=2002i é da forma a+bi, tal que a e b são números reais positivos e diferentes de zero. Então o valor de a é igual a:

A) 118
B) 210
C) 2210
D) 2002
E) 1002

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(EUA/2002) Números Complexos III Empty Re: (EUA/2002) Números Complexos III

Mensagem por Luck Qui 18 Set 2014, 02:07

z(z+i)(z+3i) = 2002i
(a+bi)(a+(b+1)i)(a + (b+3)i) = 2002i
desenvolvendo vc vai obter:
a³ -3ab² -8ab -3a + (3a²b + 4a² - b³ - 4b² - 3b)i = 0 + 2002i

a³ -3ab² -8ab -3a = 0
a(a² -3b² -8b - 3) = 0
∴ a² = 3b² + 8b + 3 (I)

3a²b + 4a² -b³ -4b² - 3b = 2002 , substituindo (I) :
3(3b²+8b+3)b + 4(3b²+8b+3) - b³ -4b² - 3b = 2002
desenvolvendo:
8b³ + 32b² +38b - 1990 = 0
por inspeção, b = 5 é raíz, aplicando briot-ruffini obtemos:
(b-5)(8b²+72b+398) = 0
as outras raízes são complexas, logo, apenas b = 5 satisfaz.
a² = 3.5² +8.5 + 3
a = √118
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