(EUA) Número Complexos I

por medock Seg 15 Set 2014, 16:21

Seja z = a+bi um número complexo com |z| = 5 e b>0, tal que a distância entre (1+2i)z³ e z⁵ é máxima, e seja z⁴ = c+di. Então o valor numérico de c+d vale:

A) 125
B) 75
C) 100
D) 25
E) 625

Spoiler:

por Luck Qui 18 Set 2014, 01:38

d = | z^5 - (1+2i)z³| , sendo z= 5cisθ

d = |z³(z²-(1+2i)|

d = |z³||z²-(1+2i)|

d = 125| 25cis(2θ) -1 - 2i)|

d = 125 | (25cos(2θ)-1) + (25sen(2θ) - 2)i |

d = 125 √[ (25cos(2θ)-1)² + (25sen(2θ)-2)² ]

d = 125 √[ 625cos²(2θ) - 50cos(2θ) +1 + 625sen²(2θ) - 100sen(2θ) + 4]

d = 125 √[ 625(sen²(2θ) +cos²(2θ) + 5 -50(cos(2θ) +2sen(2θ) ]

d = 125 √[ 630 - 50(cos(2θ) + 2sen(2θ) )]

aplicando o 'truque' do triângulo retângulo:

d = 125 √[ 630 - 50√5( cosαcos(2θ) + senαsen(2θ) ) ] , onde α = arctg(2)

d = 125 √[ 630 - 50√5cos(2θ-α) ]

para d ser máximo cos(2θ-α) = -1

assim, 2θ-α = pi ∴ 4θ = 2pi + 2α

sen(4θ) = sen(2α) ; cos(4θ) = cos(2α)

senα = (2√5)/5 ; cosα = (√5)/5

cos2α = 2cos²α - 1

cos2α = 2( √(5)/5 )² - 1

cos2α = -3/5

sen2α = 4/5

assim, sen(4θ) = 4/5, cos2α = -3/5

z^4 = 5^4cis(4θ)

z^4 = 625 ( (-3/5) + (4/5)i )

z^4 = -375 + 500i

c + d = 125.

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