IMO - Inequação

por MatheusMagnvs Dom 07 Set 2014, 15:36

IMO - 62: Resolva a inequação:

√(3-x) - √(x+1) > 1/2

Solução oficial da questão:

Nós notamos que a função f(x) = √(3-x) - √(x+1) > 1/2 está bem definida apenas para -1 ≤ x ≤ 3 e é decrescente (e obviamente contínua) neste intervalo. Nós também notamos que f(-1) = 2 > 1/2, assim como f(1 - [√{31}/8]) = √([1/4] + [√{31}/4]²) - √([1/4] - [√{31}/4]²) = 1/2. Portanto, a inequação é satisfeita para -1 ≤ x < 1 - [√{31}/8].

Não estou entendendo como o autor teve a ideia de supor x = 1 - [√{31}/8] para chegar à resposta da questão. Que raciocínio vou seguido para ter essa ideia que resolve a questão quase que instantaneamente?

Agradeço desde já a quem puder ajudar. Very Happy

por L.Lawliet Dom 07 Set 2014, 15:59

Matheus, eu acho que ele igualo a inequação à (1/2) para achar esse valor.Feito isso, por ser decrescente e continua, ele considerou -1 ≤ x < 1 - [√{31}/8] .

por Luck Dom 07 Set 2014, 18:06

Tópico movido para olimpíadas..
√(3-x) - √(x+1) > 1/2
-1 ≤ x ≤ 3
para o lado esquerdo também ser positivo, temos a restrição:
3-x > x + 1
2x < 2
x < 1
interseção: -1≤ x < 1
Agora podemos elevar ao quadrado:
3-x + x + 1 - 2√(3-x)(x+1) > 1/4
-2√(-x²+2x+3) > -15/4
√(-x²+2x+3) < 15/8
-x²+ 2x + 3 < 225/64
x < (8-√31)/8 ou x > (8+√31)/8 (não serve)
-1 ≤ x < (8-√31)/8

por L.Lawliet Dom 07 Set 2014, 19:47

Me desculpe Matheus pela resposta incompleta.

Luck, para essa equação irracional onde o dominio é { -1 ≤ x ≤ 3 } e como a função é decrescente { x₁ < x₂ → f(X₁) > f(X₂)}. Poderiamos garantir que para qualquer valor maior que 1 - [√{31}/8], resultaria numa imagem menor que (1/2) ?

por Luck Dom 07 Set 2014, 22:36

luiz.bfg escreveu:Me desculpe Matheus pela resposta incompleta.

Luck, para essa equação irracional onde o dominio é { -1 ≤ x ≤ 3 } e como a função é decrescente { x₁ < x₂ → f(X₁) > f(X₂)}. Poderiamos garantir que para qualquer valor maior que 1 - [√{31}/8], resultaria numa imagem menor que (1/2) ?

é isso mesmo que vc disse ao Matheus, conforme o argumento utilizado na resolução..só mostrei um caminho alternativo para chegar ao resultado.