Geometria plana - quadrado e triângulos

por luansavariz Ter 12 Ago 2014, 15:24

Na figura a seguir, ABCD é um quadrado de lado unitário e ABP é um triângulo equilátero. A diagonal BD do quadrado intersecta o lado AP do triângulo equilátero no ponto Q. Calcule a distância x, do ponto Q ao lado AD

Obrigado desde já!

por **raimundo pereira** Ter 12 Ago 2014, 16:19

Geometria plana - quadrado e triângulos I3c35v

A diagonal BD forma com os lados âng. de 45°.
Prolongue AP até o lado DC , observe que ficaram formados âng. alternos internos de 60 °.
Usando a soma dos âng. internos calculamos DQP-->180-(45+75)=75º
Como EF é paralela a DC temos DQR=45° , formando o triâng. retâng. isósceles DEQ.
O ângulo EQA = 180-(75+45)=60... com isso, obtemos o triângulo retângulo AEF com âng. de 30/60/90...que pela propriedade do triâng. retângulos temos a hipotenusa =2 vezes o menor cateto, e o maior cateto igual ao menor vezes a V3.

Tente concluir.

por **Medeiros** Ter 12 Ago 2014, 16:37

Geometria plana - quadrado e triângulos T0m1k9

∆APB é equilátero ----> TP = h = 1.√3/2

x = QR = RD
AR = AD - RD -----> AR =1 - x

∆ARQ ~∆ATP
x/AT = AR/TP
x/(1/2) = (1-x)/(√3/2)
x√3 = 1 - x
x(√3 + 1) = 1
x = (√3 - 1)/2 ~= 0,366

por luansavariz Ter 12 Ago 2014, 17:29

Muitíssimo obrigado pelas resoluções!

Eu acabei conseguindo desenvolver o exercício, mas de uma forma muito mais complexa e trabalhosa. Se quiserem conferir:

Geometria plana - quadrado e triângulos Ivg952