Análise Combinatória

por Andrew Wiles Sex 08 Ago 2014, 08:33

Prove que o produto de m fatores inteiros consecutivos é divisível por m!.

por **Elcioschin** Sex 08 Ago 2014, 16:10

Produto P de m fatores inteiros e consecutivos:

P = a.(a + 1).(a + 2).(a + 3). ......... .(m - 1).m ---> : m

P/m = a.(a + 10.(a + 2).(a + 3). ....... .(m - 1)

Todos os fatores do 2º membro são inteiros ---> P/m é inteiro ---> P é divisível por m

por Andrew Wiles Sex 08 Ago 2014, 16:34

Ah, obrigado pela sua resposta mestre. Engraçado, tinha acabado de fazer uma demostração aqui também :

Temos : (n+1) (n+2) (n+3) ...(n+m) . Multiplicando o numerado e denominador por n! , ficaremos com :

(n+1) (n+2) (n+3) ...(n+m) X (n!)/(n!) = (n+m)!/n! . Multiplicando o numerado e denominador por m! , ficaremos com : (n+m)!(m!) /(m!n!)

como (n+m)! / (m!n!) é inteiro, combinação de n+m elementos tomados m a m , logo m! é divisível.

Acho que está certo, não sei . Very Happy

por **Elcioschin** Sex 08 Ago 2014, 17:36

Não está certo não, Andrew:

(n+1) (n+2) (n+3) ...(n+m)*(n!) ≠ (n + m)!

(n + m)! = (n + m).(n + m - 1).(n + m - 2) .... 3.2.1 = (n + m).(n + m - 1)!

por Andrew Wiles Sex 08 Ago 2014, 18:07

n!=n(n-1)(n-2)...3.2.1

Temos o produto (n+1) (n+2) (n+3) ...(n+m)

Produto :n(n-1)(n-2)...3.2.1 x (n+1) (n+2) (n+3) ...(n+m)=

(n+m)...(n+3)(n+2)(n+1) n(n-1)(n-2)...3.2.1

imagina isso para qualquer m, ele vai regredindo , então logo é (n+m)!

Certo, não ?

por **Elcioschin** Sex 08 Ago 2014, 18:23

Vou inverter a sua ordem:

n.(n - 1).(n - 20. (n - 3). ....... .3.2.1 = n! ---> Note que começa em n e termina em 1

(n + m). ........ .(n + 3). (n + 2).(n + 1) ---> começa em (n + m) MAS não termina em 1. Só terminaria se n = 0

Logo, NÃO é a mesma coisa

por Andrew Wiles Sex 08 Ago 2014, 19:35

(n+m)...(n+3)(n+2)(n+1) e n(n-1)(n-2)...3.2.1 se completam para formar (n+m)! não importa a dos termos, notemos que essa sequência(n(n-1)(n-2)...3.2.1 ) começa com com n, justamente um unidade menos que a sequência (n+m)...(n+3)(n+2)(n+1), é só pegar os dois produtos e organizar de forma conveniente , até agora não achei um erro nisso, mas vou repensar isso novamente, obrigado pela atenção Very Happy

por Andrew Wiles Sex 08 Ago 2014, 23:09

Ou melhor:

(n+m)! = (n+m)...(n+3)(n+2)(n+1)(n)(n-1)(n-2)...3.2.1.

Em vermelho é justamente n! e em preto o produto inicial.

por **Elcioschin** Sáb 09 Ago 2014, 08:18

Andrew

Agora eu entendi sua ideia: multiplicando (n + m) ........... (n + 3).(n + 2).(n + 1) por n! obtém-se (n + m)!

Portanto, sua solução está correta