Módulo - Nível Difícil

por CoioteSP Seg 07 Jul 2014, 06:28

O número de soluções reais da
equação |x^2-1|+2x=sqrt(x^2-2x+1/x-1) é:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)Maior que 3

por PedroCunha Seg 07 Jul 2014, 10:57

Poderia reescrever a equação? Não consigo entender direito.

por CoioteSP Seg 07 Jul 2014, 15:21

|x^2-1|+2x=raiz(x^2-2x+1/x-1)

por PedroCunha Seg 07 Jul 2014, 15:33

O sqrt eu entendi. O que não entendi é o que está dentro da raiz.

É

x² - 2x + 1/(x-1)

ou

x² - 2x + (1/x) + 1

?

por **Elcioschin** Seg 07 Jul 2014, 15:33

Vou supor que seja isto:

|x² - 1| + 2x = √[(x² - 2x + 1)/(x - 1)]

Condição de existência ----> x ≠ 1

|x² - 1| + 2x = √[(x - 1)²/(x - 1)] ----> |x² - 1| + 2x = √(x - 1)

temos duas possibilidades:

a) + (x² - 1) + 2x = √(x - 1) ---> x² + 2x - 1 = √(x - 1)----> (x² + 2x - 1)² = x - 1 --->

x⁴ + 4x³ + 2x² - 5x + 2 = 0 ---> Esta equação tem 4 raízes não reais

b) - (x² - 1) + 2x = √(x - 1) ---> - x² + 2x - 1 = √(x - 1)----> (- x² + 2x - 1)² = x - 1 --->

x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

Pesquisa de raízes racionais ----> - 2, -1, 1, 2 ----> x = 1 e x = 2 são raízes

Aplicando Briott-Ruffini, descobre-se que as outras duas raízes são complexas.

Alternativa C

por PedroCunha Seg 07 Jul 2014, 15:50

Élcio, tem um erro na sua resolução:

Se |x²-1| = -(x²-1), é porque -1 < x < 1 e com isso 1 e 2 não servem.

Além disso, a condição inicial é x diferente de 1.

por CoioteSP Seg 07 Jul 2014, 16:53

Sim Elcio, eu fiz isso, porém como o Pedro falou nenhuma das opções será válida para x, diferente do gabarito.
O exercício estava assim e isso me causou dúvida Pedro, mas de acordo com a resposta correta (Gabarito: C), creio que seja assim:
x² - 2x + (1/x) + 1

por PedroCunha Seg 07 Jul 2014, 16:59

Desse jeito, duvido alguém resolver na mão:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=|x^2-1|%2B2x+%3D+\sqrt{x%C2%B2+-+2x+%2B+%281%2Fx%29+%2B+1}

por CoioteSP Seg 07 Jul 2014, 17:07

Também tinha visto esse gráfico e bate com a resposta do teste. O complicado é fazer, mas creio que dê e sem as noções mais aprofundadas de cálculo, pois caiu em vestibular. Prova da Mackenzie de 1996.