(CN) Quadrado e Semicírculo

por thiagomurisini Qui 24 Jun 2010, 21:58

Na figura, ABCD é um quadrado de área 104 e o ponto O é o centro do semicírculo de diâmetro AB. A área do triângulo AEF é dada por:

A) 2(3√3 + 3)

B) 6(4√3 - 3)

C) 5(4√3 - 6)

D) 3(4√3 - 3)

E) 8(4√3 - 3)

(CN) Quadrado e Semicírculo 20044

por **adriano tavares** Qui 04 Nov 2010, 15:32

Olá,thiagomurisini.

(CN) Quadrado e Semicírculo Colgionavalgeometriapla

O triângulo ABE é retângulo,pois esta inscrito numa semicircunferêcia.

$EB=2\sqrt{26}.sen30^\circ \Rightarrow EB=\sqrt{26}$

O triângulo OEB é equilátero.

O segmento EH é a altura do triângulo equilátero OEB.Sendo OB a base do triângulo equilátero, este fica dividido em duas partes iguais.

$EH=\frac{l\sqrt{3}}{2}\Rightarrow EH=\frac{\sqrt{26}.\sqrt{3}}{2}\Rightarrow EH=\frac{\sqrt{78}}{2}$

$OH=\frac{\sqrt{26}}{2}$

$OF=x$

$FH=\frac{\sqrt{26}}{2}-x \Rightarrow FH=\frac{\sqrt{26}-2x}{2}$

Sendo os triângulos FAD e FHE semelhantes teremos:

$\frac{(26+x)}{\frac{\sqrt{26}-2x}{2}}=\frac{2\sqrt{26}}{\frac{\sqrt{78}}{2}}\Rightarrow \frac{2(\sqrt26+x)}{(\sqrt26-2x)}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$6\sqrt{26}+6x=4\sqrt{78}-8x\sqrt{3}\Rightarrow 6x+8x\sqrt{3}=4\sqrt{78}-6\sqrt{26}$

$x=\frac{2\sqrt{78}-3\sqrt{26}}{4\sqrt{3}+3}\Rightarrow x=\frac{11\sqrt{26}-6\sqrt{78}}{13}$

$AF=AO+x \Rightarrow AF=\sqrt{26}+\frac{11\sqrt{26}-6\sqrt{78}}{13}\Rightarrow AF=\frac{34\sqrt{26}-6\sqrt{78}}{13}$

$A_{\Delta AFE}=\frac{AF.EH}{2}= \frac{\left(\frac{34\sqrt{26}-6\sqrt{78}}{13}\right).\frac{\sqrt{78}}{2}}{2}=\frac{34.26.\sqrt{3}-6.78}{52}=3(4\sqrt{3}-3)$

Alternativa:D