Equação Matricial

por Astrogildo Calisbento Seg 09 Jun 2014, 15:56

Mostre que a solução da equação matricial AB*X*A^-1B^-1 = I + A é X = (AB)^-1BA + A. Considere que todas as matrizes são inversíveis.

Agradeço antecipadamente pela atenção.

por Luck Seg 09 Jun 2014, 17:42

ABXA^-1B^-1 = I + A
multiplicando por A^-1 à esquerda:
BX A^-1B^-1 = A^-1 + I
multiplicando por B^-1à esquerda:
X A^-1B^-1= B^-1 A^-1 + B^-1
X(BA)^-1 = (AB)^-1+ B^-1
multiplicando por (BA)à direita:
X = (AB)^-1(BA) + B^-1(BA)
X = (AB)^-1(BA) + A

Obs. propriedades utilizadas:
AA^-1 = I
(AB)^-1= B^-1A^-1

por Astrogildo Calisbento Seg 09 Jun 2014, 19:11

Luck escreveu:ABXA^-1B^-1 = I + A
multiplicando por A^-1 à esquerda:
BX A^-1B^-1 = A^-1 + I
multiplicando por B^-1à esquerda:
X A^-1B^-1= B^-1 A^-1 + B^-1
X(BA)^-1 = (AB)^-1+ B^-1
multiplicando por (BA)à direita:
X = (AB)^-1(BA) + B^-1(BA)
X = (AB)^-1(BA) + A

Obs. propriedades utilizadas:
AA^-1 = I
(AB)^-1= B^-1A^-1

Não entendi porque que ao multiplicar por B^-1 ficou B^-1A^-1 + B^-1 ao invez de A^-1B^-1 + B^-1,
sendo que logo depois ao multiplicar por (BA) fica (AB)^-1(BA) + B^-1(BA) ao invez de (BA)(AB)^-1+(BA)B^-1.

por Luck Seg 09 Jun 2014, 23:30

Astrogildo Calisbento escreveu:
Luck escreveu:ABXA^-1B^-1 = I + A
multiplicando por A^-1 à esquerda:
BX A^-1B^-1 = A^-1 + I
multiplicando por B^-1à esquerda:
X A^-1B^-1= B^-1 A^-1 + B^-1
X(BA)^-1 = (AB)^-1+ B^-1
multiplicando por (BA)à direita:
X = (AB)^-1(BA) + B^-1(BA)
X = (AB)^-1(BA) + A

Obs. propriedades utilizadas:
AA^-1 = I
(AB)^-1= B^-1A^-1

Não entendi porque que ao multiplicar por B^-1 ficou B^-1A^-1 + B^-1 ao invez de A^-1B^-1 + B^-1,
sendo que logo depois ao multiplicar por (BA) fica (AB)^-1(BA) + B^-1(BA) ao invez de (BA)(AB)^-1+(BA)B^-1.