Números Primos

Seja . Determine N, tal que 5N e 27N tenham 8 e 18 divisores, respectivamente, a mais que N.

Gab:4.725

Só consegui desenvolver até aqui:

(x+1).(y+1).(w+1) = k
(x+1).(y+2).(w+1) = k + 8
(x+4).(y+1).(w+1) = k + 18

Substitua k da 1ª equação na 2ª e 3ª equçaões

Leve estes valores substituídos para o 1º membro e coloque o que for possível em evidência; simplifique e veja no que dá.

William Lima escreveu:Seja . Determine N, tal que 5N e 27N tenham 8 e 18 divisores, respectivamente, a mais que N.

Gab:4.725

Só consegui desenvolver até aqui:

(x+1).(y+1).(w+1) = k
(x+1).(y+2).(w+1) = k + 8
(x+4).(y+1).(w+1) = k + 18

Boa tarde, William.

Número de divisores:
de N = (x+1)(y+1)(w+1)
de 5N = (x+1)(y+2)(w+1) → o fator 5 de 5N aumentará de 1 unidade o expoente de y.
de 27N = (x+4)(y+1((w+1) → 27=3³ → expoente de x será aumentado de 3 unidades.

(x+1)(y+2)(w+1) - (x+1)(y+1)(w+1) = 8 → colocando (x+1) em evidência:
(x+1).[(y+2)(w+1) - (y+1)(w+1)] = 8 → colocando também (w+1) em evidência:
(x+1).[(w+1).(y+2 - y - 1)] = 8
(x+1).(w+1) = 8 ........ (I)

(x+4)(y+1)(w+1) - (x+1)(y+1)(w+1) = 18 → colocando (w+1) em evidência:
(w+1).[(x+4)(y+1) - (x+1)(y+1)] = 18 → colocando também (y+1) em evidência:
(w+1).(y+1).(x+4 - x - 1) = 18
(w+1).(y+1).3 = 18
(w+1).(y+1) = 18/3
(w+1).(y+1) = 6 ........ (II)

Formando sistema com (I) e (II), vem:
(x+1).(w+1) = 8
(w+1).(y+1) = 6

Destas últimas, podemos obter:
8/(x+1) = 6/(y+1)

mdc(8,6) = 2; portanto,

4/(x+1) = 3/(y+1)
4(y+1) = 3(x+1)
4y + 4 = 3x + 3
3x - 4y = 4 - 3
3x - 4y = 1

A equação supra é uma equação diofantina (2 incógnitas, 1 equação).
Resolvendo-a, teremos:
3x = 1 + 4y
x = (1 + 4y)/3
x = 1/3 + 3y/3 + y/3 = 1/3 + y + y/3
x = y + (1+y)/3 ....... (III)

Como x e y devem ser inteiros, igualmente deve ser inteiro o quociente da fração final.
Faremos pois:
(1+y)/3 = m
1+y = 3m
y = 3m - 1 ............... (IV)

Substituindo (IV) em (III), fica:
x = 3m - 1 + (1+3m - 1)/3
x = 3m - 1 + 3m/3
x = 3m - 1 + m
x = 4m - 1 ............... (V)

O par (x,y), além de ser inteiros, deverão ser positivos; logo,
x → 3m-1>0 → 3m>1 → m>(1/3) → m≥1
y → 4m-1>0 → 4m>1 → m>(1/4) → m≥1

Construindo uma tabela para verificar quais os possíveis valores de x e y:
m___x___y
.1___3___2
.2___7___5
.3__11___8

Para verificar quais deles realmente nos servirão, substituiremos (x,y) na equação (II):
(w+1).(y+1) = 6
(w+1).(2+1) = 6
w+1 = 6/3 = 2
w = 2-1
w = 1

Continuando a verificação com os outros dois pares:
(w+1).(y+1) = 6
(w+1).(5+1) = 6
(w+1).6 - 6
w+1 = 6/6 = 1
w = 1-1
w = 0 → inadequado; devemos ter w≥1!

A verificação com y=8 também será inadequada, pois resultaria em um w fracionário!

Logo, o único trio (x,y,w) aceitável é (3,2,1)!

Fazendo as respectivas substituições nas fórmulas de N, 5N e 27N, obtemos:
N = 3³ . 5² . 7¹ = 27 . 25 . 7 = 4725 → Nº de divisores = (3+1)(2+1)(1+1) = 4.3.2 = 24
5N = 3³ . 5³ . 7¹ → Nº de divisores = (3+1)(3+1)(1+1) = 4.4.2 = 32
27N = 3⁶ . 5² . 7¹ → Nº de divisores = (6+1)(2+1)(1+1) = 7.3.2 = 42

Conferindo as diferenças entre as quantidades de divisores:
d(5N) - d(N) = 32-24 = 8
d(27N) - d(N) = 42-24 = 18




Um abraço.

Ivomilton, eu poderia resolver por escalonamento?

William Lima escreveu:Ivomilton, eu poderia resolver por escalonamento?

Boa tarde, William.

Não saberia lhe dizer, pois nunca estudei essa parte da matemática.
Entretanto, encontrei um caminho bem mais curto; veja:
(x+1).(w+1) = 8
(w+1).(y+1) = 6

Para facilitar a visibilidade, farei:
x+1 = X
y+1 = Y
w+i = W

X.W = 8
Y.W = 6

Subtraindo a debaixo da de cima:
(X-Y).W = 8-6 = 2

A seguir, retornarei às incógnitas iniciais:
[x+1 - (y+1)]. (w+1) = 2
(x+1-y-1).(w+1) = 2
(x-y).(w+1) = 2

O segundo membro (2) pode ser decomposto em 1.2 ou em 2.1; portanto:
x-y = 2
w+1 = 1

Ou
x-y = 1
w+1 = 2

A primeira possibilidade não é aceitável, pois teríamos w=0, quando devemos ter w≥1!
Da segunda, deduzimos:
w+1 = 2
w = 2-1
w = 1

Fazendo w=1 na equação abaixo, fica:
(w+1).(y+1) = 6
(1+1).(y+1) = 6
2.(y+1) = 6
y+1 = 6/2 = 3
y = 3-1
y = 2

x - y = 1
x - 2 = 1
x = 1+2
x = 3

E assim chega-se rapidamente a:
N = 3³ . 5² . 7¹ = 27 . 25 . 7 = 4725




Um abraço.