Triângulos isósceles

http://tinypic.com/view.php?pic=10wv77a&s=8#.U46Gs_ldX2Y
Na figura, ABC e DEF são triângulos retângulos isósceles com hipotenusa BC e EF medindo 15, D está sobre a reta BC e A está sobre a reta EF . O ângulo agudo entre as retas BC e EF é 30 graus




O segmento AD mede
A) (15√2)/2
B) [15(√6-√2)]/2
C) (15√3)/2
D) (15√6)/2
E) 15

Nagato,

A minha resposta não bate com nenhuma das alternativas. Posto a minha resolução, para que algum colega possa opinar.
1 - A questão do problema é achar os valores dos ângulos ADF e DAC , pois os outros você acha usando  a soma dos ângulos internos=180º

2- Prolongue BC até H e observe que ficou formado o triângulo ACH.

3 - Baixe a perpendicular CF e ache os ângulos GCF(135-60=75),  e CFG(135-90=45.

4 - Observe que AD é paralela a FC pela congruências dos triângulos AGD e CGF , com isso temos que ADG=GCF e DAC=GFC.

5 - Assim podemos calcular o ângulo JDA(180-(75+75+15)=15 , mostrando assim que BDA = CDA=90º , e que AD é perpendicular a BC ou seja , AD é altura do triângulo ABC.

8 - Como ABC é retângulo isósceles de hipotenusa 15 , seus catetos mede 15/V2.
9 - Então BDA também é retângulo isósceles de hipotensa 15/V2 e cujos catetos valem 7,5 (veja a outra fig. ao lado).

Raimundo, pensei um pouco neste problema mas não consegui dar continuidade e abandonei. Não obstante, olhando seu desenho apresento as considerações:

1) por que você diz que CF é perpendicular à EH ?

2) a projeção horizontal de BC vale 15*cos(30º)=15*√3/2, que é menor do que 15=EF; logo os pontos B e C não podem ser respectivamente perpendiculares a E e F.

Abs.

Bom dia Medeiros ,

Por isso meu resultado não bateu com nenhuma das alternativas. O erro está na minha figura. Tentei mais um pouco encontrar a figura correta , mas não consegui. Vamos agd ver se alguém tem alguma outra visão.
Abs

Medeiros,
Dei mais uma investida nesse probl. Quando tiver tempo dê uma olhada , gostaria de ouvir à sua opinião. Abs

Raimundo,
dei uma boa olhada no seu desenho; ele tem muito ângulo e temo não ter conseguido captar a sequência do raciocínio.
De qualquer forma, pensei mais um pouco na questão e cheguei na seguinte resposta:
AD = 15(√6 - √2)/2  ............ alternativa B.
isso vem a dar AD≈7,8, o que fica bem próximo dos 7,5 em que você chegou.
Agora estou muito atarefado. Mais tarde posto a resolução com desenhos.
Abs.

:bball:

∆ABC ≡ ∆DEF, caso LAAo.
Seja V o ponto de intersecção das retas suporte BC e EF com ângulo agudo de 30º.
Consideremos o ∆ABC, há apenas uma posição em que ele pode se acomodar mantendo os vértices nas bordas desse ângulo. Por se isósceles retângulo, com base BC=15, a altura do vértice A confunde-se com a mediana e temos:
HA = HB = HC = 15/2.



tg30º = HA/HV -----> HV = (15/2)/(√3/3) -----> HV = 15√3/2 ≈ 13,0

sen30º = AH/AV -----> AV = (15/2)/(1/2) -----> AV = 15

Aplicando raciocínio análogo ao ∆EDF, concluímos que:

HV = H'V

AV = DV = 15



∆ADV é isósceles; pela lei dos cossenos:

AD² = AV² + DV² - 2.AV.DV.cos30º -----> AD² = 2*15²(1 - √3/2) -----> AD² = 15²(2 - √3)

AD = 15.√(2-√3)

cálculo parcial


portanto, AD = 15.(√6 - √2)/2

uma outra forma:

percebendo que o ângulo entre AH e DH' é de 30º (o mesmo do vértice V),
e que, portanto, o ângulo entre AH e AD vale a metade, i.e., ∠HAD=15º,
no triângulo retângulo AHD temos:

cos15º = AH/AD -----> AD = (15/2)/cos15º

cos15º = cos(45º-30º) = (√6 + √2)/4

.:. AD = 15*4/[2*(√6+√2)] -----> AD = 15(√6 - √2)/2

Medeiros,
Muito bom . Sem dúvidas a sua resolução é a correta.
O meu desenho me induziu a um erro. Quando fiz o pé da altura de EDF coincidir com o vértive de BAC. A mInha resolução estaria correta para esse  probl., o que não é o caso. Bom mesmo foi  que aprendi um pouco mais. grt. Abs