Constante elástica

A figura abaixo mostra um sistema em equilíbrio estático, formado por uma barra 
homogênea e uma mola ideal que estão ligadas através de uma de suas extremidades e 
livremente articuladas às paredes. 



A barra possui massa m e comprimento L0, a mola possui comprimento natural L0 e a 
distância entre as articulações é de 2L0. Esse sistema (barra-mola) está sujeito à ação da 
gravidade cujo módulo da aceleração é g e, nessas condições, a constante elástica da mola 
vale:

a) m.g.L0^-1/4( √3-1)


b)m.g.L0^-1


c)2m.g.L0^-1


d) m.g/ √6-2

Seja AB a barra com A o ponto de engaste na parede e B junto com a mola.

Seja C o ponto de engaste da mola na parede.

AB = Lo ---> AC = 2.Lo ----> BÂC = 60º

Sendo x a deformação da mola ----> BC = Lo + x ---> I

BC = AC.sen60º ---> BC = 2.Lo.(√3/2) ---> BC = Lo.√3 ---> II

I = II ---> Lo + x = Lo.√3 ----> x = Lo.(√3 - 1)

O peso P = m.g da barra atua no seu centro de gravidade G (para baixo).
Prolongue a reta suporte do peso P até encontrar a reta AC no ponto D:

AG = Lo/2 ---> AD = AG.cos60º ---> AD = (Lo/2).(1/2) ---> AD = L/4

Duas forças dão momento em relação ao ponto A:

1) A força P = m.g, que dista AD = Lo/4, do ponto A
2) A força F = k.x, que dista AB = Lo, do ponto A

F.AB = P.AD ---> k.x = m.g.(Lo/4) ---> k.Lo.(√3 - 1) = m.g.Lo/4 --->

k = m.g.Lo-¹/(√3 - 1)

Perdão por "desenterrar" o tópico mas a alternativa A foi digitada corretamente.

A resposta é m.g.Lo-¹/4.(√3 - 1), e não  m.g.Lo-¹/2.(√3 - 1)

A justificativa que encontrei (a única) foi que força responsável pela deformação da mola Não é mg/2. É mg/4. Resultado este encontrado através de mg/2 * Lo/4 ou (mg/2)*(Lo/2).


Alguém poderia me esclarecer o motivo ?

Obrigado.

Gustavo

A explicação é a seguinte:

A distância da reta vertical, suporte do peso P, dista Lo/4 do ponto A.
O motivo está explicado na edição que eu fiz da minha solução original. Por favor, dê uma lida

Muito obrigado Élcio.

Como sei que o ângulo mede 60 graus?

AB = Lo ---> AC = 2.Lo ---> θ = ângulo entre Lo e 2.Lo

cosθ = Lo/2.Lo ---> cosθ = 1/2 ---> θ = 60º

Obs.: Sempre que um triângulo retângulo tiver uma hipotenusa igual ao dobro de um cateto, o ângulo entre ambos vale 60º (e o outro ângulo agudo vale 30º)

Muito obrigado!!!

Tentei fazer da seguinte forma :
decompondo Fe , encontramos que Fey=P

Sabemos que Fey= Fe.sen30   =>   Fey= Fe/2

Fe/2 = m.g   =>   Fe= 2mg

Fe=k.x
k= Fe/x

Mas encontrei :


O que eu errei ?

É porque você desconsiderou a reação da parede na barra. Deve existir uma reação na direção y que ajuda a equilibrar o peso da barra, junto com a força elástica em y.