Logaritmo

IV.23)Resolva a inequação:

Gabarito:

Ps.: Desculpe por ter deixado confuso..

Está confuso

A base do 1º logaritmo é 3 ?
Qual é a base do 2º log ? É x² ?
Para escrever bases escreva (retirando os pontos): log.[.sub.].b.[./sub].N ---> log_bN

Oo então use o Editor LaTeX do fórum, ou a tabela SÍMBOLOS ÚTEIS ao lado, ou use chaves ao invés de só parênteses e colchetes

Edit.

Condições de existência ----> x^4 > 0  e x² > 0 ---> x ≠ 0  e x² ≠  1 ----> x ≠ -1 e x ≠ 1

Coloque no 2º membro ----> log₃1

Igualando os dois logaritmandos na base 3: log_x²(log_x²x^4} > 1 ---> log_x²{(log_x²)x⁴} >  log_x²(x²)

^{Igualando os logaritmandos na base x² ---->} log_x²(x⁴) >  log_x²(x²) ---> x⁴ >  x² <sub>----> x².(x² - 1) > 0

Faça agora o quadro de sinais</sub>

Olá.

Condições de existência:

x² ≠ 0 .:. x ≠ 0, x² ≠ 1 .:. x ≠ 1 e x ≠ -1
log[x²] (log [x²] x^4) > 0 .:. log[x²] [ (log[x]x^4)/(log[x]x²) ] > 0 .:. log[x²] (4/2) > 0 .:. log[x²] 2 > 0 .:. (log[x] 2)/(log[x] x²) > 0 .:.
(1/2) * log[x] 2 > 0 .:. log[x] √2 > 0 .:. √2 > 1 --> Satisfeita para todo x real
x^4 > 0 (satisfeita para todo x real diferente de 0)

Para a resolução:

Façamos, antes de mais nada, algumas simplificações:

.log[x²] x^4 = [log[x] x^4]/[log[x] x²] .:. 1/2 * [4 * log[x] x]/[log[x] x] = 2
.log[x²] (log[x²] x^4) = log[x²] 2 = [log[x] 2]/[log[x] x²] .:. (1/2) * log[x] 2

Agora sim:

log[3] [ (1/2) * log[x] 2 ] > 0 .:. (1/2) * log[x] 2 > 3^0 .:. log[x] √2 > 1

Aqui, temos dois casos:

Se x > 1, o sinal se mantém e ficamos com: x < √2
Se 0 < x < 1, o sinal se inverte e ficamos com: x > √2, o que é impossível, uma vez que x < 1.

Logo, a solução é: 1 < x < √2.

Discordo da sua solução, Élcio. Além disso, minha solução bate com a resposta dada pelo WolframAlpha.

Att.,
Pedro

Pedro

Eu não completei minha solução. Mostrei apenas um dos caminhos para resolvê-la (existem vários)

Sim, eu sei. Mas se continuarmos com a sua solução encontraremos um resultado diferente do gabarito.