Áreas

por Edu99 Dom 01 Jun 2014, 11:40

O triângulo ABC da figura abaixo tem área S. A área da
região hachurada é, em função de S:
Dados:

AB=BC=2AC
BH é altura
AD é bissetriz do ângulo Â

Áreas Triangulo1

(A) 2S/15 (B) S/10 (C)S/18 (D) 7S/30 (E)S/21

R:D:

por **Elcioschin** Dom 01 Jun 2014, 13:05

Seja AH = CH = x ----> AC = 2x ----> AB = BC = 4x

Seja CÂD = BÂD = θ ----> BÂC = A^CB = 2θ

A^BC + BÂC + A^CB = 180º ---> A^BC + 2.θ + 2.θ = 180º ---> A^BC = 180º - 4.θ ---> senA^BC = sen(4.θ)

Lei das bissetriz interna em ABC ---> AC/CD = AB/(AC - CD) ---> 2x/CD = 4x/(4x - CD) ---> CD = 4x/3

Área de ABC ---> S = AC.BC.senA^CB/2 ---> S = (2.x).(4.x).sen(2.θ)/2 ---> S = 4.x².sen(2.θ)

Área de ACD ----> S' = AC.CD.sen(A^CD)/2 ---> S' = (2x).(4x/3).sen(2.θ)/2 ---> S' = (4/3).x².sen(2.θ)

BH² = AB² - AH² ---> BH² = (4x)² - x² ---> BH = x.√15

Seja P o ponto de encontro de AD com BH:

Lei da bissetriz interna em BAH ---> AH/HP = AB/(BH - HP) ----> x/HP = 4x/(x.√15 - HP) ---> HP = x.√15/5

AP² = AH² + HP² ----> Calcule AP

cosθ = AH/AP ----> calcule cosθ

Área AHP ----> S" = HP.AP.senA^PH/2 ----> S" = HP.AP.cosθ ---> Calcule S"

Área hachurada ---> s = S' - S"

Calcule s/S