Desigualdade das médias

Acho que no livro do Aref 1 havia tal exercício ou exercício semelhante. Vou colocar a demonstração conforme me lembro.

Sejam números a > 0, b > 0, a >= b.
(2ab)/a+b =< (ab)^1/2 .'. (4a²b²)/(a+b)² =< ab < (4ab)/(a+b)² =< 1 .'. 4ab =< (a+b)² .'. 4ab =< a² + 2ab + b² .'. 0 =< a² - 2ab + b² .'. (a-b)² >= 0 .'. a-b>=0 .'. a>=b
Como a >= b é uma afirmação verdadeira, (2ab)/a+b =< (ab)^1/2 também o é.
Logo, (2ab)/a+b =< (ab)^1/2 (i)

(ab)^1/2 =< (a+b)/2 .'. 2(ab)^1/2 =< a+b .'. 4.a.b =< (a+b)² .'. 4ab =< a²+2ab+b² .'. a²-2ab+b² >= 0 .'. (a-b)² >= 0 .'. a-b>= 0 .'. a >= b.
Como a>= b é uma afirmação verdadeira, (ab)^1/2 =< (a+b)/2 também o é.
Logo, (ab)^1/2 =< (a+b)/2 (ii)

(i) U (ii):
(2ab)/(a+b) =<  (ab)^1/2 =< (a+b)/2 .'. M.H. =< M.G =< M.A., a igualdade só ocorrendo caso a = b.

Espero ter ajudado.

Entendi o que você quis dizer, mas o sr. não havia especificado. A demonstração desse artigo é encontrada em "Tópicos de Matemática", de Carlos A. Gomes e José Maria Gomes. Nem vi se tem bibliografia.

De qualquer forma, a demonstração que eu fiz é totalmente geral. O sr. só precisa abrangê-la convenientemente.

Geometricamente:

A altura ao quadrado do triângulo (E1xE2), o módulo é a média geométrica. O raio é metade do diâmetro; logo, é a média aritmética.

Uma demonstração geométrica para n = 2. Para n = 3, o sr. utilizará uma esfera e os mesmos procedimentos; não o faço por que não conheço tais ferramentas no PC, perdão. Para n qualquer, entramos num espaço n-dimensional, o que o sr. deverá ter apenas na sua imaginação, pois apenas a álgebra pode dimensioná-la. Caso tenha alguma ideia de como seja a quarta dimensão, poste aqui e depois mande a ideia para Michio Kaku. Talvez seja útil.