Logaritmos

Resolva a equação:



OBS: Como não sei colocar as bases ficam assim: o primeiro logaritmo é na base x/2, no segundo logaritmo é na base 16x  e no terceiro logaritmo é na base 4x.Outra coisa, eu encontrei como resposta 4 e 1/raiz de dois, não sei de onde vem esse 1.

Conjunto Solução:

Olá.

Uma dica: para escrever log de x² na base x/2 em LaTeX digite:

\log_{\frac{x}{2}} x^2

Quanto a questão:

Note que 1 é solução particular dessa equação (sempre teste valores como 0 ou 1).

Passando tudo para a base x, temos:

log_(x/2) x² = 2*log_(x/2) x
. log_(x/2) x = [log_x x]/[log_x x/2] .:. 1/[log_ x - log_x 2] .:. 1/[1 - log_x 2]

log_(16x) x³ .:. 3*log_(16x) x
. log_(16x) x = [log_x x]/[log_x 16x] .:. 1/[log_x x + log_x 16] .:.1/[1 + 4log_x 2]

log_(4x) √x .:. (1/2)*log_(4x) x
. log_(4x) x = [log_x x]/[log_x 4x] .:. 1/[log_x x + log_x 4] .:. [1 + 2log_x 2]

Reescrevendo a expressão:

2/[1 - log_x 2] - 42/[1 + 4log_x 2] + 20/[1 + 2log_x 2]

Seja log_x 2 = a:

2/[1+a] - 42/[1+4a] + 20/[1+2a] = 0 --> a = 1/2 ou a = -2

Lembrando que devemos ter x > 0, temos:

log_x 2 = 1/2 .:. √x = 2 .:. x = 4
log_x 2 = -2 .:. 1/x² = 2 .:. x² = 1/2,x > 0: x = 1/√2 = √2/2

S{1,4, 1/√2}

Att.,
Pedro

Obrigado pela dica, realmente 1 é solução, nunca verifiquei se  0 ou 1 são soluções, nunca tinha visto esses casos particulares, muito obrigado  pela ajuda!