Efomm -- Trigonometria

Uma das soluções da equação 4.senx.cosx + V3 = 0

Gabarito: x = 2pi/3 + 2kpi

Pessoal, eu fiz a equação só que não chego nesse resultado, então vou postar aqui a minha resolução e peço que me ajudem a encontrar o erro, por favor.

4senx.cosx + V3=0             e        sen²x + cos²x = 1
Tomei por base essas duas equações para resolução.

Isolando o senx 
4senx.cosx= -V3
senx=-V3/4cosx

Substituindo na outra equação

(-V3/4cosx)² + cos²x = 1
3/16cos²x + cos²x = 1
3/16cos²x + 16cos²x.cos²x/16cos²x = 1    (multiplicando os dois lados por 16cos²x)
3 + 16cos^4x = 16cos²x
16cos^4x - 16cos²x + 3 = 0   (cos²x = y)
16y² - 16y + 3 =0
Achei o Delta igual a 64, daí veio

y= (16 +- 8 )/32 ---------> y1= 3/4   e  y2= 1/4
logo, cosx= V3/2  e  cosx= 1/2
Daí, analisando percebo que:    x1= pi/3 + 2kpi   e   x2= pi/6  + 2kpi

Onde errei? Uma dúvida que me vem a cabeça agora é se devo considerar também os ângulos 30pi/18 + 2kpi e 5pi/3 + 2kpi, já que possuem o mesmo valor, para cossenos, que os ângulos que dei como resposta.
Agradeço desde já quem puder me ajudar!

Obs.: o V3 é raíz de 3.
K pertence aos inteiros.

A questão inteira é:

Uma das soluções da equação 4 * senx *cosx + √3 = 0 é:

a) x = (2pi/3) + k*pi 
b) x = (2pi/3) + 2k*pi
c) x = (4pi/3) + 2k*pi
d) x = (4pi/3) + k*pi
e) x = (3pi/3) + k*pi

Não se esqueça de postar todas as alternativas, pois elas fazem parte da questão.

Temos:

4*senx*cosx = -√3 .:. 2*senx*cosx = -√3/2 .:. sen(2x) = -√3/2 .:.
2x = 4pi/3 + 2*kpi .:. x = 2pi/3 + k*pi

Seu gabarito está errado.

Att.,
Pedro

Desculpa pela falta das alternativas.

Amigo, vi o seu método e percebi que eu não tinha visto este caminho. Só que ainda ficou a dúvida, onde eu errei na minha resolução? Mesmo sendo o pior método para fazer a questão, gostaria de saber o meu erro para poder me corrigir.

Vi um erro logo no começo:

(-√3/4cosx)² + cos²x = 1 .:. 3/(16cos²x) + cos²x = 1 e nao √3/(16cos²x) + cos²x = 1

Att.,
Pedro

É verdade, mas foi erro de digitação mesmo, pois fui conferir a sequência e vi lá depois que calculei o Delta corretamente. 
Pedro, se ainda tiver paciência, veja se tem outro erro, por favor. 
Obrigado.

Complementando a solução do Pedro ---> sen(2x) = - V3/2

Existe um arco no 3º e outro arco no 4º quadrante:

1) No 3º quadrante ---> 2.x = 2.k.pi + 4.pi/3 ---> x = k.pi + 2.pi/3

2) No 4º quadrante ---> 2x = 2.k.pi + 5.pi/3 ---> x = k.pi + 5.pi/6

Complementando a solução do gabriel.fla93 --->

a) cos²x = 3/4 ---> cosx = + √3/2 e cosx = - √3/2

b) cos²x = 1/4 ---> cosx = + 1/2 e cosx = - 1/2

Basta agora fazer o mesmo que na solução do Pedro