Definição de limite

por Gabi Sex 4 Jun - 19:51

Prove a seguinte afirmação:

Lim [quando x->9] de sqrt(x-5) = 2

Eu joguei no conjugado e deu:

delta = épsilon * |sqrt(x-5) +2|

Travei aqui. O que eu faço agora? Como eu defino os intervalos agora?

por Man Utd Seg 21 Abr - 20:44

Olá

Primeiramente vamos utilizar uma identidade :

$\sqrt{x-5}-2=\frac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}$

Agora temos que :

$\\\\\\ |x-9|<\delta \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \left|\frac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}\right|<\epsilon$

$\\\\\\ |x-9|<\delta \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; |x-9|*\left|\frac{1}{\sqrt{x-5}+2}\right|<\epsilon$

Agora vamos ter que restringir $\\\\\\ \delta=1$ , então $\\\\\\ |x-9|<1 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; 8<x<10$ , se esboçares o gráfico de $\\\\\\ \left| \frac{1}{\sqrt{x-5}+2}\right|$ neste intervalo verá que fica limitada por : $\\\\\\ \frac{1}{2+\sqrt{5}}<\left| \frac{1}{\sqrt{x-5}+2}\right|<\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ , então para validar a desigualdade :

$\\\\\\ |x-9|*\left|\frac{1}{\sqrt{x-5}+2}\right|<|x-9|*\left( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \right)<\epsilon \\\\\\ |x-9|*\left( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \right)<\epsilon \\\\\\ |x-9|<(2+\sqrt{3})\epsilon$

Perceba que agora podemos tomar : $\\\\\\ \delta=(2+\sqrt{3})\epsilon$ , então a solução é : $\\\\\\ \delta min=\left[1,(2+\sqrt{3})\epsilon \right]$ , isto quer dizer o menor desses dois números, agora verificando que funciona :

$|x-9|*\left|\frac{1}{\sqrt{x-5}+2}\right|<\delta \; \times \; \frac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3}) \epsilon\times \; \left(\frac{1}{2+\sqrt 3} \right )=\epsilon$

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