Geometria Analítica Ufba

por jubspii Qui 08 maio 2014, 13:58

(UFBA) Considerando-se os pontos A(1,2) ; B (-1,4) ; C(2,7) no plano cartesiano, é válido afirmar:

(01) Se A, B, C e D são, nessa ordem, vértices consecutivos de um retângulo, então o produto das coordenadas de D é 20.

por **LPavaNNN** Qui 08 maio 2014, 14:53

Fiz de uma maneira, provavelmente existe uma menos complicada, mas essa é a que achei .

se A,B,C e D, nessa ordem,são os pontos de um retângulo então a reta AB, é perpendicular à reta AD.

A equação de reta de AB é ( considerando que seja seu conhecimento de como acha-la ) .

s:x=-y+3 .
vamos considerar a reta perpendicular, como t.

então ms.mt=-1 ( em que ms e mt, representam o coeficiente angular das duas retas )

mt=1

t:x=y+n

o ponto A faz parte da reta t tambem, então .

1=2+n,n=-1

então:
t:x=y-1

D, faz parte dessa reta, então teríamos para as coordenadas de D, os eguinte . Xd=Yd-1

agora podemos montar um sistema .

O lado AB é oposto ao lado CD, sendo assim d(AB)=d(CD)

o lado BC é oposto ao lado AD, sendoa ssim d(BC)=d(CD)

fazendo a primeira :
$8=(x_d-2)^2+(y_d-7)^2\\x_d=y_d-1\\8=(y_d-3)^2+(y_d-7)^2\\8=y_d^2-6y_d+9+y_d^2-14y_d+49\\2y_d^2-20y_d+50=0\\y_d^2-10y_d+25=0 (y_d=5,x_d=y_d-1,x_d=4)\\D=(4,5)$

bom... essa questão era um sistema, mas como fazendo a primeira parte do sistema, achamos apenas um valor pra yd , não há necessidade de faer a segunda parte .

por PedroCunha Qui 08 maio 2014, 14:58

Olá, jubspii.

Se são nessa ordem os vértices, as seguintes igualdade são válidas;

BC = AD, AB = CD

Desenvolva utilizando distância entre dois pontos e resolva o sistema.

por **LPavaNNN** Qui 08 maio 2014, 15:23

EU tentei desenvolver apenas por esse meio, mas no final chega em duas equações em que tem y^2, y, x^2,x, e as equações n oferecem meio de substituir totalmente uma das incógnitas, por isso usei o conceito de perpendicularidade também .