Teorema do Valor Médio

por donkey94 Ter 06 maio 2014, 14:10

Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
|senb-sena|<=|b-a|, para todos a,b pertencentes aos reais.

por Man Utd Ter 06 maio 2014, 15:15

Olá

É bem simples, bastar fazer usar o intervalo [a,b] e supor que é um intervalo continuo e diferenciavél, então vai existir um "c" pertencente ao intervalo (a,b) que obdece a seguinte relação:

$\\\\\\ \frac{sen(b)-sen(a)}{b-a}=cos(c)$

pondo em módulo:

$\\\\\\ \left|\frac{senb-sena}{b-a} \right|=|cos(c)|$

mas perceba que : $\\\\\\ 0\leq |cos(c)| \leq 1$ , pegando somente : $\\\\\\ |cos(c)| \leq 1$ , obtemos:

$\\\\\\ \left| \frac{sen(b)-sen(a)}{b-a} \right|=|cos(c)| \leq 1 \\\\\\ \left| \frac{sen(b)-sen(a)}{b-a} \right| \leq 1 \\\\ c.q.d$

por donkey94 Ter 06 maio 2014, 15:36

Nossa é verdade!! Obrigado! Eu me compliquei com o módulo. E como que eu deveria fazer para o caso de |a^1/2-b^1/2|<=1/2|a-b|, para todos a,b pertencentes aos reais tal que a>=1 e b>=1?? Não acho valores de 1/(2raiz de c)já que c nao pode ser 1 Sad

(

por Man Utd Ter 06 maio 2014, 21:49

para isso bastar usar a função sqrt(x) no intervalo [a,b], então o c pertence ao intervalo aberto(a,b) :

$\\\\\ \left| \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a} \right|=\left| \frac{1}{2\sqrt{c}} \right|$

veja que c é maior que 1, já que a>=1 e b>=1, então temos que 1/sqrt(c) é sempre menor que 1.Segue que:

$\\\\\ \left| \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a} \right|=\left| \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \right|=\left| \frac{1}{2\sqrt{c}} \right|<\left|\frac{1}{2}*1 \right| \\\\\\\left| \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} \right|<\frac{1}{2} \\\\\\\left| \sqrt{a}-\sqrt{b} \right|<\frac{1}{2} |a-b| \;\;\;\;\;\;\; c.q.d$

tbm não conseguir uma igualdade do tipo <=.Mas se o enunciado fosse a>1 e b>=1, poderia conseguir esta relação.

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