Produtos Notáveis/ Fatoração

Se a+b+c=0. Calcule o equivalente à:



https://i.gyazo.com/6a98b421f83a3433d93e8f551e7d41ea.png

A resposta é 6/5

Veja a questão abaixo e use a mesma ideia:
https://pir2.forumeiros.com/t64160-fracoes-obm

Fiz por polinômios, deu uma simplificada enorme  

Tome um polinômio P(x)= x³-kx²+px-q onde a, b e c são raízes. 

Por girard, a soma das raízes tem de ser k, mas a+b+c=0, logo k=0. 

Nosso polinômio fica assim : 

P(x)= x³+px-q 

I) Perceba que : 

a³+pa-q = 0

b³+pb-q = 0

c³+pc-q = 0

Se somarmos, temos que: 

(a³+b³+c³)+p(a+b+c)-3q=0 

(a³+b³+c³)+p(0)-3q=0 

(a³+b³+c³)=3q 

II) Se multiplicarmos por a², b² e c², simultaneamente, em cada termo, temos: 

a^5+pa^3-qa^2 = 0

b^5+pb^3-qb^2 = 0

c^5+pc^3-qc^2 = 0

Somando todos, temos : 

(a^5+b^5+c^5)+p(a^3+b^3+c^3)-q(a^2+b^2+c^2) = 0

a^3+b^3+c^3 já temos: 

(a^5+b^5+c^5)+3qp-q(a^2+b^2+c^2) = 0

Mas o que seria a^2+b^2+c^2 ? Por produto notável, temos: 

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)

(a+b+c)^2=0^2=0=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)

Portanto, a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc): 

Mas por girrard, a relação (ab+ac+bc) = p                                         (Claro, no polinômio P(x)=x³+px-q) :

a^2+b^2+c^2=-2p

III) Substituindo em (a^5+b^5+c^5)+3qp-q(a^2+b^2+c^2) = 0 : 

(a^5+b^5+c^5)+3qp-q(-2p)= 0

(a^5+b^5+c^5)=-(3qp-q(-2p)) = -5qp

IV) Finalmente, temos que : 

(a^2+b^2+c^2).(a^3+b^3+c^3)/(a^5+b^5+c^5) = (-2p).(3q)/(-5pq)

= 6/5

Nossa Luck, foi da mesma forma que eu fiz, por somas de newton. Deu um trabalhão fazê-la  

galera, conseguir desenvolver por fatoração. Mas valeu luck e VictorCoe!!!