Escola Naval - Números complexos

Representemos por  o conjugado do número complexo z. A equação z³ =  :

a)possui uma única raiz
b)possui exatamente quatro raízes
c)tem o produto das suas raízes igual a 1
d)tem o produto das suas raízes igual a -1
e)tem a soma das suas raízes igual a zero

Olá.

Observe o seguinte:

z = a+ bi .:. tan θ= b/a .:. θ = arc tan (b/a)
z' = a + (-bi) .:. tan θ= -b/a .:. θ= arc tan (-b/a) .:. -θ = arc tan (b/a)

Então:

z = ρ *  cis (θ), z' = ρ *  cis(-θ)

Logo:

z³ = z' .:. ρ³ * cis(3θ) = ρ * cis(-θ)

Como ρ ≥ 0, temos duas possibilidades para ρ³ = ρ: ρ = 0 ou ρ = 1

Para ρ = 0, z = 0.

Para ρ = 1:

cis(3θ) = cis(-θ) .:. 3θ = -θ + 2kpi .:. 4θ = 2kpi .:. θ = kpi/2

--> θ: {0, pi/2, pi, 3pi/2}

Então, os possíveis valores de z são:

Para  ρ = 0: z = 0
Para ρ = 1 e θ = 0: z = cos 0 + i*sen 0 .:. z = 1
Para ρ = 1 e θ = pi/2: z = cos pi/2 + i*sen pi/2 .:. z = i
Para ρ = 1 e θ = pi: z = cos pi + i*sen pi .:. z = -1
Para ρ = 1 e θ = 3pi/2: z = cos 3pi/2 + i*sen 3pi/2 .:. z = -i

Soma das raízes: 0 + 1 + i - 1 - i  = 0

Att.,
Pedro