exercício de inequação modular: como resolver

|x-2|-|x+4| ≤ 1-x

Como aplico a condição de existência?

Não tenho a resposta desse exercício

|x| = k, se x é positivo, e |x| = -k, se x é negativo. Entende essa relação? Não existe módulo negativo (módulo é a distância na reta real até a origem, o ponto zero, portanto essa distância não pode ser negativa). Então se x for menor que zero, o módulo dele deverá ser seu inverso.
Ex.: |3| = 3. |-3| = -(-3) = 3 (ou seja, se x é negativo, o módulo é o inverso dele, para que se torne positivo)
|x-2| = x-2, se x>= 2; |x-2| = 2-x, se x <= 2 (pois se x for menor do que 2, a expressão dentro do módulo será negativa e será necessário inverter seu valor para que o módulo seja positivo)
|x+4| = x+4, se x >=-4; |x+4| = -x-4, se x <= -4 (mesmo motivo).

Faça uma tabela de sinais, ajuda bastante a interpretar.
 Temos três situações: x<=-4, ou -4<=x<=2 (x está entre -4 e 2), ou x>=2.

Primeiro caso: x<=-4
Sabemos que para x <= -4, |x+4| = -x-4. Também sabemos que para x <= 2, |x-2| = 2-x e essa será a expressão utilizada (pois x <= -4 é menor do que 2)
Então, substituindo os módulos descobertos na inequação, temos:
2-x - (-x-4) <= 1 -x .'. 2-x + x+ 4 <= 1 - x .'. x<= -5 (satisfaz x<=-4, então é uma resposta possível)

Segundo caso: -4 <= x <= 2 (x está entre -4 e 2)
Como x está entre -4 e 2, com certeza x é maior ou igual a -4, e para x maior ou igual a -4 sabemos que |x+4| = x+4. Entretanto, como x está entre -4 e 2, com certeza x é menor ou igual a 2, e para x menor ou igual a dois sabemos que |x-2| = 2-x. Substituiremos esses valores na inequação.
2-x - (x+4) <= 1 - x .'. 2 -x -x -4 <= 1 - x .'. -3<= x .'. x>= -3 (a condição inicial era x entre -4 e 2, e para que x maior ou igual a -3, o 'limite' será x entre -3 e 2, pois x, pela condição inicial, não será maior do que 2 nesse caso que estamos analisando).

Terceiro caso: x >= 2.
Para x >=2, sabemos que |x-2| = x - 2. E sabemos, também, que para x >= -4, |x+4| = x+4, e como 2 é maior do que -4 (evidente), então nesse caso teremos |x+4| = x+4. Substituindo os valores dos módulos na inequação:
x-2 - (x+4) <= 1 - x .'. x -2 -x -4 <= 1 - x .'. x <= 7 (a condição inicial desse caso impõe x maior ou igual a dois, mas chegamos em x menor ou igual a 7. Então a resposta desse caso é 2<=x<=7, ou seja, x menor ou igual a 7, mas nunca x será menor do que 2, pela condição inicial).

Qual dos três casos é verdadeiro? Não sabemos, pois não sabemos o valor de x! Isso significa que a resposta é meio 'variável', por isso analisamos em casos diferentes, mas apenas um deles é verdade. Então ou o primeiro caso está correto, ou o segundo caso está correto, ou o terceiro caso está correto. Pela lógica proposicional, sabemos que o conectivo ou numa equação produz a união dos conjuntos-verdades.
Então a resposta será a união das três respostas obtidas. Entende o motivo? X pode ser qualquer valor, não sabemos qual, mas avaliamos cada um dos possíveis valores que a expressão pode assumir para cada intervalo de x. É como se precisássemos ir de uma cidade A até a cidade B, mas não sabemos qual o caminho correto; então analisamos os possíveis caminhos e as possíveis chegadas. A resposta é ou o caminho X, ou o caminho Y etc. Compreende?

Então a resposta é: x<=-5 ou -3<=x<=2 ou 2<=x<=7.
Espero que tenha ajudado.

Para resolver a inequação deve-se avaliar x nos seguintes intervalos:

Para x >= 2:
x - 2 - (x + 4) <= 1 - x --> x <= 7
S1 = [2, +∞] ∩ ]-∞, 7] = [2, 7]

Para -4 <= x < 2:
-(x - 2) - (x + 4) <= 1 - x --> x >= -3
S2 = [-4, 2[ ∩ [-3, +∞[ = [-3, 2[

Para x < -4:
-(x - 2) - [-(x + 4)] <= 1 - x --> x <= -5
S3 = ]-∞, -4[ ∩ ]-∞, -5] = ]-∞, -5]

Assim, o conjunto solução da inequação é:
S = S1 U S2 U S3 = ]-∞, -5] U [-3, 7]