Expressões algébricas

por André Albuquerque Sáb 05 Abr 2014, 21:35

Dada a seguinte sequência :
p₁(x) = 1^x

p₂(x) = 1^x+ 2^x

p₃(x) = 1^x+2^x + 3^x
^.
^.
^.
pk(x) = 1^x + 2^{x +}3^x+ ... + k^x

Também se tem que : (p_n(1) . p_n(2))/ p_n(3) = 9
Determinar pn(0)

gabarito : 13

por **mauk03** Dom 06 Abr 2014, 19:25

p_n(1) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
p_n(2) = 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
p_n(3) = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²(n + 1)²/4

Para n > 0:
(p_n(1).p_n(2))/p_n(3) = 9 --> [n(n + 1)/2][n(n + 1)(2n + 1)/6]/[n²(n + 1)²/4] = 9 --> (2n + 1)/3 = 9 --> n = 13

Assim:
p_n(0) = p13(0) = 1^0 + 2^0 + 3^0 + ... + 13^0 = 1.13 = 13