(UNB) Relações Métricas

por playstadion Ter 18 maio 2010, 00:15

O paralelogramo ABCD está inscrito num círculo de centro O e raio r. Sabendo que o segmento OP = r/2, calcule o valor da expressão 15/r^2 x área de ABCD. Resposta:24
(UNB) Relações Métricas Digitalizar0002a

(UNB) Relações Métricas Digitalizar0002a

por **adriano tavares** Ter 18 maio 2010, 14:35

Olá, playstadion.

Aplicando Pitágoras no triângulo OPA encontraremos:

$AP=\frac{r\sqrt{5}}{2}$

Sendo os triângulos OPA e ABC semelhantes teremos:

$\frac{PO}{AO}=\frac{BC}{AB}$

$\frac{r}{2}.\frac{1}{r}=\frac{BC}{AB} \Rightarrow AB=2BC$

Note que o triângulo ABC é retângulo pois, está inscrito numa semi-circunferência. Aplicando Pitágoras teremos:

$(BC)^2+4(BC)^2=4r^2 \Rightarrow BC=\frac{2r\sqrt{5}}{5}$

Logo, teremos:

$\frac{15}{r^2}.\frac{2r\sqrt{5}}{5}.\frac{4r\sqrt{5}}{5}=24$