Álgebra

Código:

Sendo a e b números reais e a^4+2a^3b-3a^2b^2-4ab^3-b^4=0 , um possível valor de a/b

gabarito:V5-3/2

a^4 + 2a³b -3a²b² -4ab³ - b^4 = 0, dividindo por b^4 :
(a/b)^4 + 2(a/b)³ - 3(a/b)² - 4(a/b) - 1 = 0, seja a/b = x
x^4 + 2x³ - 3x² - 4x - 1 = 0
como nao há raízes inteiras, vamos tentar quebrar em duas equações de segundo grau:
x^4 + 2x³ - 3x² -4x - 1 = (x²+px+q)(x²+rx + t)
x^4 + 2x³ - 3x² -4x - 1 = x^4 + (r+p)x³ + (t+q+pr)x² + (qr+tp)x + qt
r + p = 2
t + q + pr = -3
qr + tp = -4
qt = -1
disso tiramos : q = -1 , t = 1 , p = -1, r = 3 

(x²-x-1)(x²+3x+1) = 0
x = (-3±√5)/2 ou x = (1±√5)/2

Logo, (√5-3)/2 é um possível valor.

obs. a questão provalvemente é objetiva, neste caso as alternativas também devem ser postadas.

Luck, como você resolveria o sistema?

PedroCunha escreveu:Luck, como você resolveria o sistema?

não tem um método definitivo porque nem sempre vc conseguirá quebrar em duas de segundo grau.. então primeiro vc começa testando quaisquer valores inteiros possíveis que satisfazem uma das equações e depois verificando nas outras:

qt = -1 possibilidades : q=1 e t = -1 (i) ; q=-1 e t = 1 (ii)
testando (i):
-1 + 1 + pr = -3 ,  pr = -3
p + r = 2
∴ p = -1  e r = 3
substituindo na terceira:
qr + tp = -4
3 +1 = -4 , não serve.

de modo análogo, resolvendo (ii) , q=-1,t =1 , p=-1 , r = 3 :
qr + tp = -4
-3 -1 = -4 (ok).

Entendi! Valeu.