Prova Geométrica

por **Pietro di Bernadone** Dom 16 maio 2010, 18:29

Boa noite prezados usuários do Pir²!

Na figura abaixo, ABC é isósceles de base BC, M é o ponto médio de BC, MP//AC e MQ//AB. Prove que APMQ é um losango.

Prova Geométrica Losango

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Dom 16 maio 2010, 23:09

Um losango é definido como: quadrilátero com quatro lados iguais e paralelos dois a dois.

O paralelismo já é garantido pelo enunciado. Mostre, usando semelhança, que

$\Delta APQ\equiv \Delta PMQ\Rightarrow AP=PM=MQ=QA$

por **Pietro di Bernadone** Dom 16 maio 2010, 23:53

Boa noite Euclides!

Baseado em sua dica, montei a seguinte ilustração. Veja:

Prova Geométrica Resolvi

*Garanti que P é o ponto médio de AB (dado que o triângulo é isósceles de base BC).
**Garanti que Q é o ponto médio de AC (também baseado no fato do triângulo ser isósceles de base BC).
***Não sei explicar bem, mas o segmento PM é congruente com o segmento AQ (dado que é formado pelos pontos médios. A explicação seria essa?)
****O mesmo raciocínio estou usando para dizer que o segmento PA é congruente com o segmento MQ.
A congruência dos triângulos APQ e PMQ é verificada pelo exposto acima, também observando que o lado PQ é comum aos dois triângulos.
Daí, temos que o quadrílatero APMQ é um losango.

O raciocínio é esse mesmo Prof. Euclides?

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

por **Euclides** Seg 17 maio 2010, 15:07

Olá Pietro, essa questão é até fácil, mas Geometria é uma das áreas mais sofisticadas da Matemática, em que é preciso conhecer dezenas de teoremas e suas aplicações, além de fazer uso constante de figuras procurando o traçado de linhas auxiliares que indiquem um caminho.

A soluções devem sempre ser explicadas (em Português) para que quem as lê possa acompanhar e entender a sequência dos cálculos e quais os teoremas aplicados.

Então vejamos:

1- dada a definição de losango: quadrilátero com quatro lados iguais e paralelos dois a dois, temos o paralelismo já garantido pelo enunciado, portanto precisamos provar que os triângulos APQ e PMQ são iguais.

Prova Geométrica Trere