[Números Complexos] Módulo.

por E=MC² Dom 02 Fev 2014, 15:23

Determine o maior e o menor valores possíveis para |z|, dado que |z + 1/z|= 1. ( módulo de "z" mais "1 sobre z" é igual a 1 )

Tentei tirar o mmc, daí ficou |z²/z + 1/z|= 1, depois |z²+1| / |z|= 1 e então |z²+1|=|z|, só que não sei mais o que fazer. Se alguém puder me explicar eu agradeço.

Resposta: Máx= √5/2 + 1/2 e mín= √5/2 - 1/2.

por PedroCunha Dom 02 Fev 2014, 20:38

É impossível |z| ser √5/2 - 1/2 uma vez que, pela definição, |z| é a raiz quadrada da soma de dois quadrados.

O que fiz foi:

$\circ |z + \frac{1}{z}| = 1 \therefore | \frac{z^2 + 1}{z} | = 1 \therefore | z^2+1 | = |z| \therefore z^2 = (z^2+1)^2 \\\\ \therefore z^2 = z^4 + 2z^2 + 1 \therefore z^4 + z^2 + 1 = 0, z^2 = y \rightarrow y^2 + y + 1 = 0 \\\\ \circ y = \frac{-1 \pm i\sqrt3}{2} \rightarrow z^2 = \sqrt{ \frac{-1 \pm i\sqrt3}{2}} \\\\ \circ z^2 = \sqrt{ \cos \frac{2\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2\pi}{3} } \dots I \text{ ou } z^2 = \sqrt{ \cos \frac{4\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4\pi}{3}} \dots II \\\\\circ I: z = \cos \left( \frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{2}\right) + i \cdot \sin \left( \frac{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{2} \right), k = 0,1 \\\\\circ z = \cos \frac{\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{\pi}{3} \therefore z = \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2}\\\\\circ z = \cos \frac{4\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{4\pi}{3} \therefore z = -\frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2} \\\\ \circ II: z = \cos \left( \frac{ \frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{2} \right) + i \cdot \sin \left( \frac{ \frac{4\pi}{3} + 2k\pi}{2} \right), k = 0,1 \\\\ \circ z = cos \frac{2\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{2\pi}{3} \therefore z = -\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt3}{2} \\\\ \circ z = \cos \frac{5\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{5\pi}{3} \therefore \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt3}{2} \\\\ \Leftrightarrow |z| = \sqrt{ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left( -\frac{3}{2} \right)^2 } \therefore |z| = 1$

Substituindo qualquer um dos valores de z na expressão dada no enunciado, a resposta confere.

Att.,
Pedro

por **Robson Jr.** Dom 02 Fev 2014, 22:59

Discordo do PedroCunha. Explico:

Spoiler:

Para encontrar tanto o valor máximo quanto o mínimo, sugiro usar a desigualdade triangular.

$\small \left | |z|-\frac{1}{|z|} \right | \leq \left | z+\frac{1}{z} \right | \leq |z|+\frac{1}{|z|} \therefore \left | |z|-\frac{1}{|z|} \right | \leq 1 \leq |z|+\frac{1}{|z|}$

Analisemos cada desigualdade separadamente:

$\small 1) \ |z|+\frac{1}{|z|} \geq 1$

Sempre verdadeira, afinal, fazendo MA ≥ MG, temos |z| + 1/|z| ≥ 2.

$\small 2) \ \left | |z|-\frac{1}{|z|} \right | \leq 1$

O sinal do módulo dependerá do valor assumido por |z|. Dividamos em casos:

$\small 2.1) \ \text{Se } |z|\geq 1:|z|-\frac{1}{|z|} \leq 1 \therefore |z|^2-|z|-1\leq 0 \therefore \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leq |z| \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\small \\ 2.2) \ \text{Se }|z|<1:\frac{1}{|z|}-|z| \leq 1\therefore |z|^2+|z|-1\geq 0 \therefore |z|\leq \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \text{ ou }|z| \geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Como |z| é não-negativo, de 2.1) e 2.2) temos somente:

$\small |z| \geq \frac{\sqrt{5}-1}{2} \text{ e } |z| \leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Portanto:

$\small \boxed{|z|_{min} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}} \text{ e } \boxed{|z|_{max} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$

por PedroCunha Dom 02 Fev 2014, 23:12

Excelente, Robson. Preciso melhorar.

por PedroCunha Seg 03 Fev 2014, 01:24

Robson, tenho uma dúvida. Porque foi possível utilizar a desigualdade triangular?

Att.,
Pedro

por E=MC² Seg 03 Fev 2014, 11:08

Agradeço aos dois. Mas Robson, não entendi como tu usou a desigualdade das médias " MA ≥ MG, temos |z| + 1/|z| ≥ 2. "

por **Robson Jr.** Seg 03 Fev 2014, 14:04

PedroCunha escreveu:Robson, tenho uma dúvida. Porque foi possível utilizar a desigualdade triangular?

Att.,
Pedro

A soma de números complexos possui uma analogia geométrica no plano de Argand-Gauss.

[Números Complexos] Módulo. Vetor_zpsb2c4b769

Um triângulo de lados a, b e c existe se, e somente se, |b - c| < a < b + c. No caso da soma vetorial acima, a desigualdade triangular é análoga a essa condição de existência, diferindo apenas na introdução do sinal de igualdade, o que se justifica pela possibilidade de os vetores z e 1/z serem paralelos (não precisa haver necessariamente formação de triângulo).

Sendo a, b e c valores absolutos, basta fazer b = |z|, c = 1/|z| e a = 1 para obter a desigualdade usada:

$\small |b-c| \leq a \leq b+c \Rightarrow \left | |z|-\frac{1}{|z|} \right | \leq 1 \leq |z|+\frac{1}{|z|}$

E=MC² escreveu:Agradeço aos dois. Mas Robson, não entendi como tu usou a desigualdade das médias " MA ≥ MG, temos |z| + 1/|z| ≥ 2. "

Para dois termos positivos x e y, a relação entre as médias aritmética e geométrica pode ser assim escrita:

$\small \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$

Como o módulo de um complexo é um real positivo, podemos tomar x = |z| e y = 1/|z|, donde segue:

$\small \frac{|z|+\frac{1}{|z|}}{2} \geq \sqrt{|z|.\frac{1}{|z|}} \therefore |z|+\frac{1}{|z|} \geq 2$

Se a soma acima é maior ou igual a dois, então ela satisfaz a igualdade 1) do meu post anterior.

E aí, gente, ficou melhor explicado agora?