Álgebra

Seja  . Assinale a alternativa na qual consta o valor de  .

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

Veja que na expansão dos termos, A1 = A19, A3 = A17, A5 = A15, A7 = A13, A9 = A11

Logo, o que procuramos é:

2* (A1 + A3 + A5 + A7 + A9)

Vejamos então:

Pela expansão multinomial, o termo geral de (1+x+x²)^{10} é dado por:

10!/(i!j!k!) * 1^{i} * x^{j} * x^{2k} .:. 10!/(i!j!k!) * x^{2k+j}

Para A1:

2k+j = 1 --> k = 0, j = 1, i + j + k = 10, i = 9 

10!/9! = 10

Para A3:

2k + j = 3 --> k = 1,j = 1 ou k = 0, j = 3, i = 8 ou 7

10!/(8!) + 10!/(7!3!) .:. 90 + 120 = 210

Para A5:

2k + j = 5 --> k = 2, j = 1 ou k = 1, j = 3 ou k = 0, j = 5, i = 7 ou 6 ou 5

10!/(2!7!) + 10!/(3!6!) + 10!/(5!5!) = 1452

Para A7:

2k + j = 7 --> k = 2, j = 3 ou k = 3, j = 1 ou k = 1, j = 5 ou k = 0, j = 7, i = 5,6,4,3

10!/(2!3!5!) + 10!/(3!6!) + 10!/(5!4!) + 10!/(7!3!) = 4740

Para A9:

2k + j = 9 --> k = 2, j = 5 ou k = 3, j = 3 ou k = 4, j = 1 ou k = 1, j = 7 ou k = 0, j = 9, 
i = 3,4,5,2,1

10!/(2!5!3!) + 10!/(3!3!4!) + 10!/(4!5!) + 10!/(7!2!) + 10!/9! = 8350

Logo, a soma é: 2 * (10 + 210 + 1452 + 4740 + 8350) = 29524

Se fosse uma questão discursiva, já poderíamos parar por aqui. Como é objetiva, vamos utilizar as alternativas.

Vamos testar a alternativa a:

Soma de P.G. de a1 = 1, q = 3, n = 10:

S = [a1 * (q^n - 1) ]/(q -1)
S = [1 * (3^{10} - 1]/2
S = 29524

Concluímos então que essa é a resposta correta.

Penso eu que exista uma maneira mais fácil de resolver esse exercício. Logo mais os feras do fórum aparecem e resolvem. Por enquanto, é o que consegui fazer.

Att.,
Pedro

Substituindo convenientemente a variável x, podemos isolar a soma que nos interessa.

Primeiro, façamos x = 1:



Agora, x = -1:



Tomando (Eq 1) - (Eq 2):



O PedroCunha já provou que 29524 equivale ao item a).

Parece-me, porém, que o elaborador da questão gostaria que fatorássemos 3¹⁰ - 1. Veja:

Novamente com uma solução genial, Robson.

Robson , porque você igualou x a 1 ?

Douglas, eu já respondi sua pergunta:

Robson Jr. escreveu:Substituindo convenientemente a variável x, podemos isolar a soma que nos interessa.

Usei x = 1 e, na sequência, x = -1 porque percebi que com as duas expressões resultantes eu conseguiria isolar exatamente o que o problema me pede para calcular.