Triângulo Retângulo

por mddgabriel Seg 27 Jan 2014, 21:04

Resolva um triângulo retângulo sabendo que seu perímetro é 12√ 2 e a altura relativa a hipotenusa é (12√ 2)/5

Nao consegui... Aceito ajuda!
Valeu!

por PedroCunha Ter 28 Jan 2014, 11:57

Veja:

a + b + c = 2p --> (2p = perímetro)

Vamos partir dessa equação, para chegar à fórmula que relaciona a área de um triângulo retângulo ao seu perímetro e a altura relativa a hipotenusa (h). Veja:

a + b + c = 2p --> Elevando ao quadrado
(a+b+c)² = 4p²
a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = 4p² --> triângulo retângulo: a² = b² + c²
a² + a² + 2ab + 2ac + 2bc = 4p²
2a² + 2ab + 2ac + 2bc = 4p² --> Área do triângulo: (b*c)/2 .:. b*c = 2S
2a² + 2ab + 2ac + 4S = 4p²
2a² + 2a*(b+c) + 4S = 4p² --> a+b+c = 2p .:. b+c = 2p-a
2a² + 2a*(2p-a) + 4S = 4p² --> Área também é dada por: (a*h)/2 .:. a = 2S/h
2*(2S/h)² + 2*(2S/h) * (2p - 2S/h) + 4S = 4p²
2 *(2S/h)² + 2 * (4Sp/h - (2S/h)²) + 4S = 4p²
2 * (2S/h)² + 8Sp/h - 2*(2S/h)² + 4S = 4p²
8Sp/h + 4S = 4p² --> Dividindo tudo por 4
2Sp/h + S = p²
2Sp + Sh = p²h
S * (2p + h) = p²h
S = (p²h)/(2p+h)

Bom, após tudo isso, substituindo os dados do enunciado:

S = [ (6√2)² * (12√2)/5]/(12√2 + (12√2)/5 )
S = [ 72 * (12√2)/5]/( 72√2/5)
S = (72 * (12√2))/(72√2)
S = 72/6 .:. S = 12 u.a.

Agora:

(b*c)/2 = 12
b*c = 24

e ainda:

a*h = b*c
a * (12√2)/5 = 24
a * 12√2 = 120
a= 120/(12√2) .:. a = 10/√2 .:. a = 10√2/2 .:. a = 5√2

Também: a + b + c = 12√2 .:. b + c = 7√2

Montando um sistema:

b + c = 7√2 .:. b = 7√2 - c
b * c = 24 .;. (7√2 - c) * c = 24 .:. 7√2c - c² = 24 .:. -c² + 7√2c - 24 = 0 .:.
c = (-7√2 + √2)/-2 .:. c = 3√2 ou c = (-7√2 - √2)/-2 .:. c = 4√2

E nesse caso: b = 4√2 ou b = 3√2.

Logo, os lados são: 3√2,4√2,5√2

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro

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