Dúvida sobre círculo

por Viniciuscoelho Sex 23 Abr 2010, 21:56

Como descobriu-se que $\\A_{circulo}=\pi.r^2?$

por **Euclides** Sex 23 Abr 2010, 23:01

A área de um polígono regular de n lados é dada por:

$A=\frac{nL}{2}\cdot H$

Dúvida sobre círculo Poligono-de-n-lados

Sendo H a altura de cada triângulo. Aumentando-se o número de lados até o infinito o polígono vai se aproximando de uma circunferência:

$\\nL\to 2\pi R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;H\to R\\\\A=\frac{2\pi R}{2}\cdot R\to A=\pi R^2$

De uma maneira mais elaborada:

$\\L=2Rsen\frac{\theta}{2}\;\;\;\to h=Rcos\frac{\theta}{2}\;\;\;\to n=\frac{2\pi}{\theta}\\\\A=\frac{4\pi Rsen\frac{\theta}{2}}{2}\cdot Rcos\frac{\theta}{2}$

quando o numero de lados tende a infinito o ângulo theta tende a zero

$\\A=\frac{2\pi Rsen\frac{\theta}{2}}{\theta}\cdot Rcos\frac{\theta}{2}\\\\\\\lim_{\theta\to 0}\frac{2\pi Rsen\frac{\theta}{2}}{\theta}\cdot Rcos\frac{\theta}{2} =4\pi R^2\lim_{\theta\to0}\frac{sen\frac{\theta}{2}}{\theta}.\lim_{\theta\to0}cos\frac{\theta}{2}$

$\\\lim_{\theta\to0}\frac{sen\frac{\theta}{2}}{\theta}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{\theta\to0}cos\frac{\theta}{2}=1\\\\\\A\to \pi R^2$

por Viniciuscoelho Sáb 24 Abr 2010, 07:04

Entendi, Mestre.
Muito Obrigado.

Não entendi essa passagem, qual o nome dela:

$\\n=\frac{2\pi}{\theta}?\rightarrow \theta =\frac{2\pi}{n}?$

E por que:
$\\c=2\pi r?$

por **Euclides** Sáb 24 Abr 2010, 13:01

1) $n=\frac{2\pi}{\theta}\to \frac{360}{\theta}$

número de lados...

2) para toda circunferência (isto é empírico e não dedutível) tem-se

$\\\frac{L}{D}=3,1415926535897932384626433832795\\\\\frac{L}{2R}=\pi\to L=2\pi R$

por Viniciuscoelho Sáb 24 Abr 2010, 16:24

Muito obrigado, Mestre.

por **Elcioschin** Sex 31 Dez 2010, 13:05

Vinicius

Uma outra maneira, sabendo-se que o perímetro da circunferência vala 2*pi*r :

Trace uma quantidade grande de raios do círculo (20 raios por exemplo)
Note que cada arco de uma das "fatias de pizza" é muito pequeno, podendo ser comparado a uma reta (com um certo erro).
Neste caso, cada fatia de pizza pode ser comparada com um triângulo isósceles (também com um erro pequeno)
Junte agora todos os "triângulos" lado a lado, com as 20 "bases" alinhadas.

Como todos tem a mesma altura (igual ao raio) a área total é o semi-produto da soma das bases pela altura:

S = (1/2).b*h ----> S = (1/2)*(2*pi*R)*R -----> S = pi*R²

Você poderá contestar alegando que, na realidade a base não é uma linha reta, já que é a soma de pequenos arcos.
Neste caso, ao invés de 20 raios, pode-se escolher um número bem maior, fazendo a soma das bases tender para uma linha reta.

Assim, no limite quando o número de raios tende para infinito, ters-e-á como soma das bases uma linha reta.

Este procedimento é a base do Cálculo Diferencial e Integral, do Ensino Superior.

por wanafunzi Sex 17 Fev 2012, 21:42

Dúvida sobre círculo Scaled.php?server=835&filename=areao

é mais ou menos o que o Elcioschin explicou ai em cima,
Aprendi com um professor muito loko!

Usando uma tesoura imaginária cortamos o círculo na linha vermelha, após abrir linha por linha, chegamos no triângulo...
Sabemos que o segmento laranja mede 2pr, e o verde é r, a área do triângulo é o mesmo do circulo, base x altura x 1/2:
$A=\frac{2\pi r\times r}{2}=\pi r^2$