Radiciação de núḿeros complexos

(MAPOFEI-75) Determinar as raízes quadradas do número complexo z = 5 -12i

5 - 12i = (a + bi)² ----> 5 - 12i = a² - b² + 2abi

2ab = -12 ----> ab = - 6 ----> b = -6/a

a² - b² = 5 ---> a² - (-6/a)² = 5 ----> a² - 36/a² = 5 ----> (a²)² - 5a² - 36 = 0

 ∆ = (-5)² - 4.1.(-36) ---->  ∆ = 169 ---->  √∆ = 13


 Raiz real ----> a² = (5 + 13)/2 ----> a² = 9 ----> a =  ± 3


Para a = 3 ----> b = - 6/3 ---> b = - 2 ----> Raiz de z = 3 - 2i

Para a = -3 ---->  b = - 6/(-3) ----> b = 2 -----> Raiz de z = -3 + 2i

Para esse exercício, uma forma de resolver é usar a Fatoração de Gauss. Veja:

Primeiro passo: multiplicar pelo conjugado

(5-12i) * (5+12i) = 25 + 144 = 169

Segundo passo: fatorar o resultado obtido

169|13
 13|13
1 --> 13*13

Terceiro passo: separar os fatores primos em dois grupos

I) Os que são da forma 4k + 3:

Nesse caso, nenhum.

II) Os que não são da forma 4k + 3:

{13,13}

Quarto passo: encontrar a e b tais que a²+b² = x, onde x pertence ao segundo grupo

a² + b² = 13 --> 3² + 2² = 13 --> (3+2i) * (3-2i)

Como o conjunto é {13,13}, a fatoração fica (3+2i)² * (3-2i)²

Quinto passo: Verificar qual parcela dividi o número inicial em um fator primo inteiro:

(3+2i)² = 9 + 12i + 4i² = 5 + 12i --> Não serve
(3-2i)² = 9 - 12i + 4i² = 5 - 12i --> Serve

Logo, a fatoração fica: 5-12i = (3-2i)²

Concluindo:

z = (3-2i)² --> Raízes quadradas de z: +- (3-2i)

Penso que seja isso.

Att.,
Pedro

Obrigado. Eu tinha tentado fazer pela 2ª fórmula de DeMoivre mas o argumento era arc tg -12/5