Area e volume da esfera

por Marchetti_ Sex 27 Dez 2013, 00:16

Você poderia provar que a área da esfera é 4*pi*R² ?

E que o volume é 4/3*pi*R³ ? Poderia provar?

abraços

por **Euclides** Sex 27 Dez 2013, 01:32

Isso pode ser provado por Cálculo:

Volume de um sólido gerado pela revolução de uma curva em torno do eixo x:

$V=\pi\int_{a}^{b}\left [ f(x) \right ]^2dx$

uma circunferência centrada em (0,0) produz uma esfera ao rotacionar no eixo x. A curva no primeiro quadrante produz meia esfera:

$\\V=2\pi\int_{0}^{R} (R^2-x^2)dx\\\\V=2\pi\left (\int_{0}^{R}R^2dx-\int_{0}^{R}x^2dx \right )\;\;\;\Rightarrow \;\;\;V=2\pi\left ( R^3-\frac{R^3}{3} \right )\\\\\\\boxed{V=\frac{4\pi R^3}{3}}$

Para encontrar a área, basta derivar o volume em R

$\\\frac{dV}{dR}=\frac{12\pi R^2}{3}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\boxed{A=4\pi R^2}$

por **Elcioschin** Sex 27 Dez 2013, 09:42

Outro modo de provar o volume, sem o uso de cálculo integral é através do Princípio de Cavalieri
Pesquise em qualquer livro/apostila de Geometria ou mesmo na internet

por Matheus Fillipe Sex 27 Dez 2013, 13:12

Outro método que admiro foi o empregado por Arquimedes, não deixe de conferir o blog também é ótimo: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/12/arquimedes-e-o-volume-da-esfera.html

por **Euclides** Sex 27 Dez 2013, 14:06

Elcioschin escreveu:Outro modo de provar o volume, sem o uso de cálculo integral é através do Princípio de Cavalieri
Pesquise em qualquer livro/apostila de Geometria ou mesmo na internet

Princípio de Cavalieri from wellsonfs

por **Medeiros** Sáb 04 Jan 2014, 01:51

Marchetti_,
também sem usar Cálculo e tendo como já provado o volume da esfera através do Princípio de Cavalieri, conforme lembrou o Elcioschin, podemos obter a superfície da esfera.

Sabemos que o volume de uma pirâmide é 1/3 do produto da área da base pela sua altura.

Considere um pedaço pequeno e "quadrangular" da superfície da esfera. OK, esse pedaço é côncavo. Mas façamos esse pedaço MUITO pequeno, de tal forma que a concavidade "desapareça". Seja S₁ a área desse pedaço.

Tomando a pirâmide de base S1 e vértice no centro da esfera, ela terá um volume
V₁ = (1/3).S₁.R
pois a altura da pirâmide é o próprio raio da esfera.

O volume da esfera (V) será a soma do volume das infinitas pirâmides (pois que há infinitas bases minúsculas) iguais a V₁. Então,

V = V₁ + V₂ + V₃ + ... + V_n

V = (1/3).R.[S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n]

porém
S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n = S
onde S é a própria superfície da esfera.

então
V = (1/3).R.S

mas já sabemos que V = (4/3).pi.R³
Então,

(4/3).pi.R³ = (1/3).R.S ------> S = 4.pi.R²

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um pouco de honestidade: para falar a verdade, esse raciocínio é a aplicação de infinitésimos e cálculo integral, só que a gente nem sente.