Equação recíproca

Se é uma equação recíproca de segunda classe de grau par, com certeza 1 e - 1 são raízes. Do Teorema do Resto:

1 - (a+b+c) + 6 - 3c + 6 - 1 = 0
-a -b - 4c + 12 = 0
-a - b -4c = -12
a + b + 4c = 12 (i)

1 + (a+b+c) + 6 - 3c -6 -1 = 0
a + b -2c = 0 (ii)

Fazendo i - ii:

a + b + 4c - a - b -(-2c) = 12
6c = 12
c = 2

Encontrando a + b:

a + b +4c = 12
a  +b = 4 --> a + b + c = 6

Portanto, a equação é:

x^6 - 6x^5 + 6x^4 - 6x^2 + 6x - 1 = 0

Abaixando o grau utilizando Briot-Ruffini:

1 | 1 -6 6 0 -6 6 -1
     1 -5 1 1 -5 1  0

-1| 1 -5 1 1 -5 1
     1 -6 7 -6 1 0

Chegamos em:

x^4 - 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1 = 0

Agora, dividindo toda a equação por x²:

x² - 6x + 7 - 6/x + 1/x² = 0 --> Arrumando a equação:

x² + 1/x² - 6*(x + 1/x) + 7 = 0 --> Fazendo x + 1/x = y

y² - 2 - 6y + 7 = 0
y² - 6y + 5 = 0
y' = (6 + 4)/2 --> y' = 5
y'' = (6-4)/2 --> y'' = 1

Encontrando x:

I) x + 1/x = 5 --> x² - 5x + 1 = 0
 x' = (5 + √21)/2
 x'' = (5 - √21)/2

II) x + 1/x = 1
    x² - x + 1 = 0
 x' = (1 + i√3)/2
 x'' = (1 - i√3)/2


Portanto, as raízes são:


1,-1,(5+√21)/2, (5-√21)/2, (1+i√3)/2, (1-i√3)/2


A resposta é: Letra D --> 4 raízes reais.


Att.,
Pedro

Excelente Pedro. Parabéns

Muito obrigado, Élcio.

Obrigado Pedro. Ótima explicação.

Estava pensando. Tem um jeito mais fácil de encontrar a equação. Como ela é recíproca de segunda classe, devemos ter os coeficientes dos extremos opostos, ou seja:

1 -- -1
-(a+b+c) -- 6
6 -- -3c

De forma que concluímos que:

a + b + c = 6
c = 2

Att.,
Pedro